Geometría Diferencial y Aplicaciones
(Curso Académico 2018 - 2019)

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• CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
• CE3 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
• CE4 - Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
• CE5 - Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas de las Matemáticas.
• CE6 - Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
• CE7 - Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

• CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5 - Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Tema 1.- Variedades diferenciables
1.0 Preliminares: Superficies
1.1 Definición de variedad diferenciable
1.2 Ejemplos
1.3 Variedades producto y cocientes. Espacios proyectivos
1.4 Espacios de configuración de sistemas mecánicos

Tema 2.- Aplicaciones diferenciables
2.1 Función diferenciable
2.2 Aplicaciones diferenciables entre variedades

Tema 3.- Fibrado tangente y campos de vectores tangentes 
3.1 Vector tangente. Espacio tangente en un punto de una variedad diferenciable
3.2 Fibrado tangente
3.3 Campos de vectores tangentes a una variedad diferenciable 
3.4 Corchete de Lie de campos de vectores 
3.5 Flujo de un campo de vectores y grupo uniparamétrico de transformaciones 

Tema 4.- Inmersiones, sumersiones y subvariedades
4.1 Rango de una aplicación diferenciable. Teorema del rango
4.2 Inmersiones y sumersiones
4.3 Subvariedades inmersas y embebidas
4.4 Ejemplos

Tema 5.- Fibrado cotangente y formas diferenciales
5.1 Covectores. Espacio cotangente en un punto de una variedad diferenciable 
5.2 Fibrado cotangente 
5.3 Formas diferenciales
5.4 Operador diferencial. Cohomología de De Rham 

Tema 6. Formulación geométrica de la Mecánica Hamiltoniana
6.1 Mecánica Hamiltoniana
6.2 Forma simpléctica sobre una variedad
6.3 Formulación geométrica de las ecuaciones de Hamilton

Las tareas que se realicen a lo largo del curso se entregarán en inglés. También aparecerán en inglés todo el material, incluyendo el entorno de aula virtual y las transparencia que se exponga en las clases. En inglés se impartirán los objetivos y comentarios iniciales de los epígrafes que conforman cada uno de los temas del curso.

Las clases teóricas se dedicarán a la exposición de contenidos, presentación de ejemplos y resolución de problemas o ejercicios complementarios que hagan más sencilla la comprensión de la materia. En ocasiones el modelo se aproximará a la lección magistral y en otras se procurará una mayor implicación del alumno. Las clases de problemas estarán dedicadas a la resolución de problemas y su posterior corrección y puesta en común.

Actividades formativas	Horas presenciales	Horas de trabajo autónomo	Total horas	Relación con competencias
Clases teóricas	30,00	45,00	75,0	[CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]
Clases prácticas (aula / sala de demostraciones / prácticas laboratorio)	23,00	0,00	23,0	[CB4], [CB5], [CE1], [CE3], [CE4], [CE5], [CE6], [CE7]
Preparación de exámenes	0,00	22,50	22,5	[CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]
Realización de exámenes	3,00	0,00	3,0	[CB4], [CB5], [CE1], [CE6], [CE7]
Otros (seguimientos, seminarios y tutorías)	4,00	22,50	26,5	[CB4], [CB5], [CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]
Total horas	60.0	90.0	150.0
Total ECTS			6,00

Boothby, W. M.: An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry (2nd. edition). Academic Press, Inc. New York, 1986.
[BULL
]
W. D. Curtis and F. R. Miller: Differential manifolds and theorical physics. Academic Press, Inc. San Diego, New York, 1985. 
[BULL]
Loring W. Tu: An Introduction to manifolds, Springer New York, 16 dic. 2007 - 368 páginas [BULL]

Helgason, S.: Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. Academic Press., New York, 1978
[BULL]
Warner, F. W. : Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Scott Foresmann, Illinois, 1971. 
[BULL]
Libro de ejercicios:
 Gadea P. M., Masqué J. M. and Mykytyuk. I. V.: Analysis and Algebra on Differentiable Manifolds (2nd edition), Springer, London, 2013 [BULL]

Plataforma de docencia virtual de la ull.

La adquisición de las competencias por el estudiante se verificará mediante una combinación de examen final y evaluación continua. En esta última se evaluará la participación y el rendimiento del estudiante en las clases teóricas y prácticas, tutorías, dos pruebas intermedias, así como su respuesta a otros trabajos que podrán ser planteados por el profesor. No se exigen requisitos mínimos para acceder a la evaluación continua.

La calificación final de la asignatura será la máxima entre la nota del examen final y la ponderación del examen final con la evaluación continua, dándole a esta última un peso del 80%.

Tipo de prueba	Competencias	Criterios	Ponderación
Pruebas objetivas	[CB4], [CB5], [CE1], [CE5], [CE6], [CE7]	Se realizarán dos pruebas a lo largo del semestre. Se calibrará el nivel de asimilación de la asignatura	70 %
Pruebas de desarrollo	[CB4], [CB5], [CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]	Examen final de carácter general dentro de las convocatorias oficiales	20 %
Trabajos y proyectos	[CB4], [CE1], [CE5], [CE6], [CE7]	Problemas en grupos realizados en clase	10 %

La asignatura se desarrollará en 15 semanas de clase, con 4 horas de clase presencial por semana, 2 de teoría y 2 de prácticas en grupo único (lunes y miércoles).

La distribución de los temas y de las actividades de enseñanza-aprendizaje por semanas es orientativo y puede sufrir cambios según las necesidades de organización docente. Para la asignación de horas por semana se ha tenido en cuenta el calendario académico de la ULL.

Semana	Temas	Actividades de enseñanza aprendizaje	Horas de trabajo presencial	Horas de trabajo autónomo	Total
Semana 1:	Tema 1	1.1 Definición de variedad diferenciable. 1.2 Ejemplos	4.00	3.00	7.00
Semana 2:	Tema 1	1.3 Variedades producto y cocientes. Espacios proyectivos. 1.4 Espacio de configuración de sistemas mecánicos.	4.00	5.50	9.50
Semana 3:	Tema 2	2.1 Función diferenciable 2.2 Aplicaciones diferenciables entre variedades	2.00	5.50	7.50
Semana 4:	Temas 3	3.1 Vector tangente. Espacio tangente en un punto de una variedad diferenciable 3.2 Fibrado tangente	6.00	5.50	11.50
Semana 5:	Temas 3	3.3 Campos de vectores tangentes a una variedad diferenciable  3.4 Corchete de Lie de campos de vectores	4.00	5.50	9.50
Semana 6:	Tema 3	3.5 Flujo de un campo de vectores y grupo uniparamétrico de transformaciones	5.00	5.50	10.50
Semana 7:	Tema 4	4.1 Rango de una aplicación diferenciable. Teorema del rango	4.00	4.50	8.50
Semana 8:	Tema 4	4.2 Inmersiones y sumersiones	4.00	4.50	8.50
Semana 9:	Tema 4	4.3 Subvariedades inmersas y embebidas 4.4 Ejemplos	4.00	4.50	8.50
Semana 10:	Tema 5	5.1 Covectores. Espacio cotangente en un punto de una variedad diferenciable  5.2 Fibrado cotangente	4.00	5.50	9.50
Semana 11:	Tema 5	5.3 Formas diferenciales	4.00	3.50	7.50
Semana 12:	Tema 5	5.4 Operador diferencial. Cohomología de De Rham	4.00	4.50	8.50
Semana 13:	Tema 6	6.1 Mecánica Hamiltoniana 6.2 Forma simpléctica sobre una variedad	4.00	4.50	8.50
Semana 14:	Tema 6	6.2 Forma simpléctica sobre una variedad 6.3 Formulación geométrica de las ecuaciones de Hamilton	4.00	5.50	9.50
Semana 15:	Exámenes y entrega de trabajos	Exámenes y entrega de trabajos	0.00	12.50	12.50
Semana 16 a 18:	Exámenes y entrega de trabajos	Exámenes y entrega de trabajos	3.00	10.00	13.00
Total			60.00	90.00	150.00