Medida e Integración
(Curso Académico 2019 - 2020)

Mostrar Todo Ocultar Todo

• CG4 - Capacitar para la utilización de los conocimientos teóricos y prácticos adquiridos en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales.

• CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.

• CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
• CE3 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
• CE7 - Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

Tema 1. Conceptos básicos de la Teoría de la Medida. Conjuntos y sus operaciones. Medida exterior. La medida de Borel. Medidas de Lebesgue-Stieltjes. La medida de Borel sobre Rⁿ. Continuidad y completitud de las medidas. Producto de medidas. Estructura de conjuntos medibles.
Tema 2. Funciones medibles. Convergencia en medida y sus propiedades. Convergencia en casi todo punto. El conjunto de Cantor y la curva de Cantor.
Tema 3. La integral de Lebesgue. Integración de funciones simples. Integracion de funciones medibles no negativas. Teorema de la convergencia monótona y Lema de Fatou. Integración de funciones complejas. Teorema de la convergencia dominada. Comparación de la integral de Lebesgue con la integral de Riemann.
Tema 4. Algunas aplicaciones de la integral de Lebesgue. Teorema de Radon-Nikodym. Teoremas de Fubini. Desigualdades de Hölder y de Minkowski. Los espacios L^p y sus propiedades.

El plan de estudios no establece la obligatoriedad de desarrolar actividades en otro idioma en esta asignatura.

La metodología que se llevará a cabo en esta asignatura incluye:
- Clases magistrales donde se expondrán los conceptos y las técnicas incluidos en el programa.
- Clases de problemas en aula dedicadas a la resolución de ejercicios y cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.
- Trabajo y estudio personal por parte del estudiante (resolución de hojas de problemas, preparación de exámenes).
- Evaluación (pruebas escritas, utilizadas en la evaluación de los estudiantes)

 

Actividades formativas	Horas presenciales	Horas de trabajo autónomo	Total horas	Relación con competencias
Clases teóricas	30,00	0,00	30,0	[CG4], [CE1], [CE3]
Clases prácticas (aula / sala de demostraciones / prácticas laboratorio)	27,00	0,00	27,0	[CG4], [CB2], [CE1], [CE3], [CE7]
Estudio/preparación de clases teóricas	0,00	34,00	34,0	[CG4], [CE1], [CE3]
Estudio/preparación de clases prácticas	0,00	33,50	33,5	[CG4], [CE1], [CE3], [CE7]
Preparación de exámenes	0,00	22,50	22,5	[CB2], [CE7]
Realización de exámenes	3,00	0,00	3,0	[CG4], [CB2], [CE1], [CE3], [CE7]
Total horas
Total ECTS

 G. de Barra. Measure Theory and Integration. John Wiley, 1981. 

Joan Cerdá. Análisis Real. Editions Universitat de Barcelona, 1996.   

G. Folland. Real Analysis; 2nd edition. John Wiley, 1999.

E. M. Stein, R. Shakarchi. Real Analysis, III; Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton U. Press, 2005.

W. Rudin. Análisis real y complejo. McGraw Hill, 1974.

T. Tao. An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Society, 2011.

- http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-125-measure-and-integration-fall-2003/
- https://terrytao.wordpress.com/category/teaching/245a-real-analysis/

El procedimiento de evaluación se rige por el vigente Reglamento de Evaluación y Calificación de la ULL y lo dispuesto en la Memoria de Modificación del Grado en Matemáticas (febrero de 2019).
El alumno puede optar por una de las modalidades de evaluación: continua o única. 
Para la evaluación continua se realizarán dos exámenes parciales a lo largo del cuatrimestre consistentes en pruebas escritas con preguntas teóricas de respuesta corta o de desarrollo y/o preguntas prácticas de resolución de problemas. La calificación final en esta modalidad será la media de las notas obtenidas en cada parcial siempre y cuando estas sean iguales o superiores a 4.5. Los parciales superados se mantendrán para la convocatoria de enero. 
En la modalidad de evaluación única se realizará un examen final consistente en preguntas teóricas de respuesta corta o de desarrollo y/o preguntas prácticas de resolución de problemas, dentro de las convocatorias oficiales. Su peso será del 100%.
 

Tipo de prueba	Competencias	Criterios	Ponderación
Pruebas de respuesta corta	[CG4], [CE1], [CE3], [CE7]	- Propiedad y rigor en la terminología y la notación. - Resultados correctos y bien justificados.	20,00 %
Pruebas de desarrollo	[CG4], [CB2], [CE1], [CE3], [CE7]	- Propiedad y rigor en la terminología y la notación. - Resultados correctos y bien justificados.	50,00 %
Pruebas de ejecuciones de tareas reales y/o simuladas	[CG4], [CE1], [CE3], [CE7]		30,00 %

La asignatura se desarrolla en 15 semanas de clase según la siguiente estructura:
- 2 horas semanales de sesiones teóricas (T).
- 2 horas semanales de sesiones prácticas (P).
La distribución de los temas y actividades por semana es orientativa y puede sufrir cambios en función de las necesidades de organización docente. Asimismo, el calendario de los parciales es, igualmente, orientativo y se fijará en la agenda de tercer curso, en coordinación con el resto de asignaturas del cuatrimestre. La agenda de tercer curso así como el calendario de exámenes de las convocatorias oficiales pueden encontrarse en la dirección https://www.ull.es/grados/matematicas/informacion-academica/horarios-y-calendario-examenes.

Semana	Temas	Actividades de enseñanza aprendizaje	Horas de trabajo presencial	Horas de trabajo autónomo	Total
Semana 1:	Tema 1	5T	5.00	6.00	11.00
Semana 2:	Tema 1	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 3:	Tema 1	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 4:	Tema 2	1T, 2P	3.00	2.00	5.00
Semana 5:	Tema 2	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 6:	Tema 2	2T, 3P	5.00	7.50	12.50
Semana 7:	Tema 2, Primer Parcial	2T, 2P	4.00	7.00	11.00
Semana 8:	Tema 3	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 9:	Tema 3	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 10:	Tema 3	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 11:	Tema 3	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 12:	Tema 4	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 13:	Tema 4	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 14:	Tema 4, Segundo Parcial	2T, 2P	4.00	6.00	10.00
Semana 15:		Preparación de la prueba	0.00	3.00	3.00
Semana 16 a 18:	Examen final	Preparación y realización de la prueba	3.00	4.50	7.50
Total			60.00	90.00	150.00