Análisis Funcional
(Curso Académico 2025 - 2026)

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• CG4 - Capacitar para la utilización de los conocimientos teóricos y prácticos adquiridos en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales.

• CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.

• CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
• CE3 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
• CE5 - Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas de las Matemáticas.
• CE7 - Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

Tema 1. Nociones generales sobre espacios métricos.
Tema 2: Espacios de Banach.
Tema 3: Los teoremas fundamentales del Análisis Funcional.
Tema 4: Espacios de Hilbert.
Tema 5: Teoría espectral de operadores lineales. 


English version:
Chapter 1: General notions about metric spaces.
Chapter 2: Banach spaces.
Chapter3: The fundamental theorems of Functional Analysis.
Chapter 4: Hilbert spaces.
Chapter 5: Spectral theory of linear operators.

La asignatura forma parte del programa FINULL, por lo que este año se impartirán 3 créditos de la asignatura en inglés.
Además, las hojas de problemas están redactadas en inglés y varios de los elementos de la bibliografía recomendada de la asignatura están en dicho idioma.

Para impartir el contenido teórico de la asignatura, la docente empleará, en la mayoría de los casos, el método expositivo, explicando en pizarra los contenidos de la asignatura y promoviendo la participación de los estudiantes. Además, cuando lo considere oportuno, la docente hará uso del aula invertida, de modo que invitará a todos los estudiantes a preparar un resultado con anterioridad a la clase con el fin de que se enfrenten a él, hagan el esfuerzo de estudiarlo por su cuenta y traten de entender y profundizar en su demostración. Para facilitarles el trabajo, la docente les facilitará previamente las referencias donde pueden encontrar dicho resultado y, si lo considera necesario, les dará algunas indicaciones o pautas generales. El día de clase que la docente vaya a impartir el resultado asignado, irá preguntando de manera individual a los estudiantes sobre el mismo, sus matices, elementos de la prueba, ideas principales, etc. Con estas preguntas, la docente irá evaluando, mediante observación directa, el grado de asimilación de contenidos, las dificultades que están encontrando los estudiantes en la materia o en el resultado a estudiar en sí, y con esa información explicará el resultado de la manera más clarificadora posible.

Las clases de problemas estarán dedicadas a la exposición de los ejercicios por parte del alumno, con la guía del profesor, fomentando la actitud crítica a la resolución o incluso mejoras de las exposiciones, por parte del resto de estudiantes.

El uso de la Inteligencia Artificial (IA) está permitido como herramienta para la búsqueda de bibliografía y material complementario, pero en ningún caso para la redacción y resolución de las tareas asignadas.

En caso de situaciones de riesgo declaradas oficialmente derivadas de fenómenos meteorológicos adversos y que pudieran afectar a la programación de las asignaturas, las actividades docentes se desarrollarán, en la medida de lo posible, conforme establezca el plan específico del centro.

English version:

To deliver the theory content of the course, the teacher will use the expository method, providing explanations of the subject on the blackboard and promoting student participation. Moreover, from time to time, the teacher will use the flipped classroom methodology, so she will ask the students to study a result in advance so that they can face that result and make the effort of studying and understanding it on their own and going deeper into its proof. To ease that work, the teacher will provide the students all the references where they can find that result and, if necessary, she will give some general indications. The day the teacher will explain the assigned result, she will ask the students about the proof, its details, main ideas, etc. With these questions, she will evaluate, through direct observaction, the degree of assimilation of the contents, the difficulties that students are finding in the course or in the result to be studied itself, and with that information the result will be explained by the teacher in the most clarifying way possible.

The problem sessions will be dedicated to the presentation of the problems by the students with the guidance of the teacher, encouraging a critical attitude towards resolution or even improvements in the presentations by the rest of the students.

The use of the Artificial Intelligence (AI) is allowed as a tool for searching bibliography and complementary material, but in no case for writing and solving assigned tasks.

In the event of officially declared risk situations due to adverse weather conditions that may affect the course schedule teaching activities will continue, to the extent possible, in accordance with the specific plan of the School.

Actividades formativas	Horas presenciales	Horas de trabajo autónomo	Total horas	Relación con competencias
Clases teóricas	30,00	0,00	30,0	[CG4], [CB4], [CE1], [CE3], [CE5]
Clases prácticas (aula / sala de demostraciones / prácticas laboratorio)	27,00	0,00	27,0	[CG4], [CB2], [CB4], [CE3], [CE7]
Estudio/preparación de clases teóricas	0,00	34,00	34,0	[CE1], [CE5]
Estudio/preparación de clases prácticas	0,00	33,50	33,5	[CE3], [CE5], [CE7]
Preparación de exámenes	0,00	22,50	22,5	[CG4], [CE1], [CE3], [CE5], [CE7]
Realización de exámenes	3,00	0,00	3,0	[CB2], [CB4], [CE7]
Total horas
Total ECTS

E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, New York-London-Sydney, 1978.

A. Vera López, P. Alegría Ezquerra:
Un curso de análisis funcional.
 AVL, 1997.

I. Marrero:
Problemas de análisis real y funcional.
 Servicio de Publicaciones, Universidad de La Laguna, 1991.

B. V. Limaye:
Functional analysis
, 2
nd
edition. New Age,

1996.

H. Brezis, 
Análisis Funcional
. Madrid, Alianza Universidad, 1984.

J. B: Conway, A course in functional analysis, Springer, 1980

 P. Lax, 
Functional Analysis
, Wiley-Interscience, N. York, 2002.

W. Rudin:
Análisis real y complejo
, 3
a
edición. McGraw-Hill, 1988.

El aula virtual de la asignatura.

I. Marrero: Análisis Funcional, curso OCW-ULL, 2022 
https://campusvirtual.ull.es/ocw/course/view.php?id=167

I. Marrero: Teoría de operadores, curso OCW-ULL, 2011/12  
https://campusvirtual.ull.es/ocw/course/view.php?id=26

J. Großmann: The Bright Side of Mathematics - Functional analysis  
https://youtube.com/playlist?list=PLBh2i93oe2qsGKDOsuVVw-OCAfprrnGfr

El procedimiento de evaluación se rige por el vigente Reglamento de Evaluación y Calificación de la ULL y lo dispuesto en la Memoria de Modificación del Grado en Matemáticas (febrero de 2019).
La evaluación de las competencias se verificará mediante dos modalidades, evaluación continua (EvC) y evaluación única (EvU). 

Modalidad EvC: Evaluación continua. 

• Realización de dos seguimientos presenciales a lo largo del cuatrimestre con contenidos teóricos y prácticos de la asignatura. Cada seguimiento tiene un valor de 30% sobre la calificación final. La nota de cada seguimiento debe ser superior o igual a un 4 para que haga media con el resto de instrumentos de calificación.
• Realización de un examen final escrito en la fecha que el centro ha asignado a la modalidad de evaluación única sobre los contenidos teóricos y prácticos de la asignatura. Su valor es el 30% de la calificación final. El alumnado que desee mejorar su nota en alguno de los seguimientos, puede hacerlo el día de la convocatoria del examen final mediante la realización de una prueba en los mismos términos que los seguimientos realizados durante el curso.
• Exposición (y si fuera necesario entrega) de los problemas y resultados teóricos asignados a lo largo del cuatrimestre. Su valor es el 10% de la calificación final. 
• Si al final del cuatrimestre la nota de algún seguimiento es inferior a un 4 pero la calificación de la asignatura, de acuerdo con la ponderación, es mayor o igual a 5, la nota final de la asignatura será de un 4.
• Se considerará agotada la convocatoria cuando el alumno se presente al examen final. En caso contrario se considerará "No presentado".
• La evaluación continua sólo aplica a la convocatoria de enero de la asignatura. Para el resto de convocatorias, la evaluación será como en la modalidad de evaluación única.

Modalidad EvU: Evaluación única.
Realización de un examen final escrito en la fecha asignada por el centro para este tipo de modalidad de evaluación, sobre los contenidos teóricos y prácticos de la asignatura. Su valor es el 100% de la calificación final.
El alumnado interesado en escoger el método de evaluación única debe comunicarlo a través del aula virtual de la asignatura. Se recomienda hacerlo antes del final del periodo de docencia del primer cuatrimestre.

El alumnado que se encuentre en la quinta o posteriores convocatorias y desee ser evaluado por un Tribunal, deberá presentar una solicitud a través del procedimiento habilitado en la sede electrónica, dirigida a la Decana de Ciencias. Dicha solicitud deberá realizarse con una antelación mínima de diez días hábiles al comienzo del periodo de exámenes.

English version:

The assessment procedure is governed by the current Evaluation and Qualification Regulations of the ULL and the provisions of the Modification Report of the Degree in Mathematics (February 2019). The assessment of competencies will be verified through two modalities, continuous evaluation (CEv) and single evaluation (SEv). 

CEv Modality: Continuous evaluation.

•  Carrying out two writting test throughout the semester with theoretical and practical content of the subject. Each test has a value of 30% of the final grade. The grade for each test must be greater than or equal to 4 so that it is averaged with the rest of the grading instruments.
• Carrying out a final written exam on the date that the center has assigned to the single evaluation modality on the theoretical and practical contents of the subject. Its value is 30% of the final grade. Students who wish to improve their grade in any of the tests can do so on the day of the final exam by taking a test under the same terms as the others carried out during the course.
• Presentation (and if necessary delivery) of the theoretical problems and results assigned throughout the semester. Its value is 10% of the final grade. 
• If at the end of the semester the grade for any test is less than 4 but the grade for the subject, according to the weighted average, is greater than or equal to 5, the final grade for the subject will be 4.
• The call will be considered finished when the student takes the final exam. Otherwise it will be considered "Not presented". Continuous evaluation only applies to the January session of the subject. For the rest of the calls, the assessment will be as in the single evaluation modality.

SEv modality: Single evaluation.

• Carrying out a final written exam on the date assigned by the center for this type of evaluation modality, on the theoretical and practical contents of the subject. Its value is 100% of the final grade. 
• In order for the student to be eligible for the single evaluation, they must communicate it through the procedure enabled in the virtual campus of the course. It is recommended to do so before the end of the teaching period of the semester.

Students who are in the fifth or subsequent calls and wish to be evaluated by a Court must submit a request through the procedure enabled in the electronic office, addressed to the Dean of Sciences. This request must be made at least ten business days in advance of the beginning of the exam period.

Tipo de prueba	Competencias	Criterios	Ponderación
Pruebas de desarrollo	[CG4], [CB2], [CB4], [CE1], [CE3], [CE5], [CE7]	Modalidad EvC: Pruebas escritas con preguntas teórico-prácticas que permitan identificar el grado de comprensión alcanzado de los conocimientos de la asignatura, así como evaluar la habilidad para exponer las ideas. Representa un 20% en cada seguimiento y examen final. Modalidad EvU: Representa un 70% del examen único.	60,00 %
Pruebas de ejecuciones de tareas reales y/o simuladas	[CG4], [CB2], [CB4], [CE1], [CE3], [CE5], [CE7]	Modalidad EvC: Pruebas escritas con resolución de problemas teórico-prácticos, en los que se mide los conocimientos, las habilidades y las actitudes que son objeto de aprendizaje. Se evita que el estudiante se limite a memorizar y reproducir información, y permite identificar el grado de comprensión alcanzado. Representa un 10% en cada seguimiento y examen final. Modalidad EvU: Representa un 30% del examen único.	30,00 %
Exposiciones y pruebas orales	[CG4], [CB2], [CB4], [CE1], [CE3], [CE5], [CE7]	Modalidad EvC: Resolución de problemas propuestos y exposición en pizarra, donde se verifique que se han adquirido los conocimientos de la asignatura y la habilidad para exponer las ideas con claridad.	10,00 %

La distribución de los temas y actividades por semana es orientativa y está sujeta a posibles cambios en función de las necesidades de organización docente. El calendario de las pruebas de seguimiento es orientativo y se fijará en la agenda del curso, en coordinación con el resto de asignaturas. La prueba final de cada convocatoria se celebrará conforme al calendario de exámenes aprobado por el centro.

Semana	Temas	Actividades de enseñanza aprendizaje	Horas de trabajo presencial	Horas de trabajo autónomo	Total
Semana 1:	Tema 1	Teoría.	2.00	3.00	5.00
Semana 2:	Tema 1	Teoría y problemas.  Exposición de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 3:	Tema  2	Teoría y problemas. Exposición de problemas.	5.00	5.00	10.00
Semana 4:	Tema 2	Teoría y problemas.  Exposición de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 5:	Tema  2	Teoría y problemas.  Exposición de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 6:	Tema 3	Teoría y problemas. Exposición de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 7:	Tema 3	Teoría y problemas.  Exposición de problemas. Primer Seguimiento	4.00	6.00	10.00
Semana 8:	Tema  3	Teoría y problemas.  Exposición de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 9:	Tema 3	Teoría y problemas. Exposición de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 10:	Tema 4	Teoría y problemas.  Exposición de problemas.	4.00	6.00	10.00
Semana 11:	Tema 4	Teoría y problemas.  Exposición de problemas.	4.00	6.00	10.00
Semana 12:	Tema 4	Teoría y problemas.  Exposición de problemas.	4.00	8.00	12.00
Semana 13:	Tema 5	Teoría y problemas. Exposición de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 14:	Tema 5	Teoría. Segundo seguimiento.	2.00	8.00	10.00
Semana 15:	Tema 5	Teoría y problemas. Exposición de problemas.	4.00	8.00	12.00
Semana 16 a 18:		Examen final y Recuperación de seguimientos / Evaluación única	3.00	5.00	8.00
Total			60.00	90.00	150.00