MM. MM. IV: Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja
(Curso Académico 2026 - 2027)

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• CG02 - Adquirir una sólida base teórica, matemática y numérica, que permita la aplicación de la Física a la solución de problemas complejos mediante modelos sencillos
• CG04 - Desarrollar la habilidad de identificar los elementos esenciales de un proceso o una situación compleja que le permita construir un modelo simplificado que describa, con la aproximación necesaria, el objeto de estudio y permita realizar predicciones sobre su evolución futura. Así mismo, debe ser capaz de comprobar la validez del modelo introduciendo las modificaciones necesarias cuando se observen discrepancias entre las predicciones y las observaciones y/o los resultados experimentales.
• CG07 - Ser capaz de participar en debates científicos y de comunicar tanto de forma oral como escrita a un público especializado o no cuestiones relacionadas con la Ciencia y la Física. También será capaz de utilizar en forma hablada y escrita otro idioma, relevante en la Física y la Ciencia en general, como es el inglés.
• CG08 - Poseer la base necesaria para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía, tanto desde la formación científica, (realizando un master y/o doctorado), como desde la actividad profesional.

• CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio
• CB3 - Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética
• CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado
• CB5 - Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía

• CE2 - Conocer, comprender y dominar el uso de los métodos matemáticos y numéricos más comúnmente utilizados en Física.
• CE11 - Adquirir destreza en la modelización matemática de fenómenos físicos.
• CE20 - Utilizar herramientas informáticas en el contexto de la matemática aplicada.
• CE21 - Aprender a programar en un lenguaje relevante para el cálculo científico.
• CE22 - Aprender a utilizar el ordenador como herramienta básica para el cálculo científico y la modelización numérica
• CE24 - Afrontar problemas y generar nuevas ideas que puedan solucionarlos
• CE26 - Dominar la expresión oral y escrita en lengua española, y también en lengua inglesa, dirigida tanto a un público especializado como al público en general.
• CE28 - Adquirir hábitos de comportamiento ético en laboratorios científicos y en aulas universitarias.
• CE29 - Organizar y planificar el tiempo de estudio y trabajo, tanto individual como en grupo.
• CE30 - Saber discutir conceptos, problemas y experimentos defendiendo con solidez y rigor científico sus argumentos.
• CE31 - Saber escuchar y valorar los argumentos de otros compañeros.
• CE33 - Ser capaz de identificar lo esencial de un proceso / situación y establecer un modelo de trabajo del mismo.

- Temas (epígrafes):

Módulo I: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Definición y tipos. Soluciones. El problema del valor inicial. Existencia y unicidad de las soluciones.

2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. Introducción. Ecuaciones separables. Ecuaciones exactas y factores integrantes. Ecuaciones lineales. Otros tipos: sustituciones y transformaciones. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales de primer orden: métodos de Euler y Runge-Kutta. Existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno.

3. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN. Teorema de existencia y unicidad. Ecuaciones lineales homogéneas. Ecuaciones completas. Sistemas de ecuaciones lineales.

4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA Y CON OPERADORES DIFERENCIALES. Sistemas de EDOs. Operadores diferenciales. Métodos de Euler y Runge-Kutta.

5. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS. Introducción. Conceptos fundamentales. Método de Taylor. Ecuaciones lineales: puntos ordinarios y puntos singulares. Soluciones en puntos ordinarios. Soluciones en puntos singulares: método de Frobenius.

6. FUNCIONES ESPECIALES. Funciones Hipergeométricas. Funciones de Bessel. Polinomios de Legendre.


Módulo II: Funciones de Variable Compleja
1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. Números complejos. Funciones de variable compleja: límites, continuidad y derivabilidad.

2. INTEGRACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO. Introducción. Curvas en el plano complejo. Integrales de línea. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmulas integrales de Cauchy. Otros teoremas.

3. SERIES COMPLEJAS. Sucesiones y series complejas. Series de potencias: series de Taylor. La serie geométrica. Series de Laurent.

4. RESIDUOS, POLOS Y CEROS. Residuos. Polos. Ceros. El concepto de analiticidad. Aplicación al cálculo de integrales reales impropias.
 

Se utilizará el aula virtual como medio de comunicación entre el profesorado y el alumnado para notificaciones, como plataforma mediante la que suministrar apuntes, hojas de problemas, resolución de dudas, etc.. así como para el suministro de herramientas docentes y de aprendizaje. El volumen de trabajo del estudiante será el que la normativa establece para una asignatura de 6 ECTS. Debido al carácter teórico de esta asignatura, en el desarrollo de las clases se utilizará la pizarra o similar (en el caso virtual) para hacer desarrollos matemáticos y ejercicios, aunque no se descarta el uso de material gráfico proyectable especialmente en el tema de resolución numérica de EDOs. 


Se permite el uso de Inteligencia Artificial en los siguientes casos:

• Mejorar un texto desde un punto de vista distinto que no haya tenido en cuenta (histórico, económico, legal, tecnológico, de perspectiva más amplia, etc.). 
• Revisar un texto e indicar los puntos débiles o elementos de mejora que podrían incorporarse.
• Mejorar el estilo de un texto.

En caso de situaciones de riesgo derivadas de fenómenos meteorológicos adversos, se seguirán las siguientes directrices:

• Si se declara en la Universidad de La Laguna nivel 2 (amarillo), las actividades docentes se desarrollarán conforme a las directrices marcadas por la Universidad de La Laguna.
• Si se declara en la Universidad de La Laguna nivel 3 (naranja) o 4 (rojo), se suspenderán las actividades docentes presenciales, y previa información al alumnado por los canales disponibles, se actuará para garantizar la continuidad del aprendizaje y la atención al alumnado mientras se mantengan estos niveles de alerta.

 

Actividades formativas	Horas presenciales	Horas de trabajo autónomo	Total horas	Relación con competencias
Clases teóricas	26,00	0,00	26,0	[CG02], [CG04], [CG08], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [CE11], [CE24], [CE28], [CE31], [CE33], [CE2]
Clases prácticas (aula / sala de demostraciones / prácticas laboratorio)	15,00	0,00	15,0	[CG02], [CG04], [CG08], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [CE11], [CE24], [CE28], [CE31], [CE33], [CE2]
Realización de seminarios u otras actividades complementarias	15,00	0,00	15,0	[CG02], [CG04], [CG07], [CG08], [CE11], [CE24], [CE26], [CE28], [CE29], [CE30], [CE31], [CE33], [CE20], [CE2], [CE21], [CE22]
Realización de exámenes	4,00	0,00	4,0	[CG02], [CE28], [CE30], [CE33]
Estudio y trabajo autónomo en todas las actividades	0,00	90,00	90,0	[CG02], [CG08], [CE11], [CE24], [CE29], [CE30], [CE31], [CE33], [CE2]
Total horas
Total ECTS

                            Módulo I: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
           
Spiegel, M.R. “Ecuaciones diferenciales aplicadas”, Ed.: Prentice-Hall Hispanoamericana.

Zill, D.G., Cullen, M.R., Differential equations with boundary value problems". 7th ed. 2009, 2005 Brooks/Cole, Cengage Learning
                           
                            Módulo II: Variable Compleja
Churchill, R.V. y Ward Brown, J.. “Variables complejas y sus aplicaciones”, Ed.: McGraw-Hill.

               

                            Módulo I: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ayres, F. “Ecuaciones diferenciales”, Ed.: McGraw-Hill, Serie Schaum.            

Apuntes de las clases disponibles en el aula virtual a principio del curso
            
                             Módulo II: Variable Compleja
Apuntes de las clases disponibles en el aula virtual a principio del curso
Needham, Tristan. "Visual Complex Analysis", Ed.: Oxford University Press.
Kitaura Joyanes, F.-S., "Del Imaginario al Real, Curso de Variable Compleja", Ed. Science & Arts; pdf disponible en el aula virtual a principio del curso


        

En la primera convocatoria la adquisición de conocimientos y competencias se verificará en dos modalidades de evaluación: continua o única.

Todo el alumnado está sujeto a evaluación continua, salvo aquellos que se acojan a la evaluación única. Para que el estudiante pueda optar a la evaluación única, deberá comunicarlo a través del procedimiento habilitado en el aula virtual de la asignatura, antes de la realización del segundo examen presencial de evaluación continua.

En la evaluación continua se tendrán en cuenta:

1) Evaluación de conocimientos teóricos y resolución de problemas en una prueba presencial (prueba de evaluación continua del módulo I) previsible en la semana 6, una vez finalizado el tema 4 de la parte de ecuaciones diferenciales, contando un 45% en la nota final.

2) Entrega de un trabajo en grupos reducidos de 3 personas sobre el tema 5 del módulo I; computa un 15% en la nota final. Entrega prevista durante la semana 10 del curso y presentación oral del trabajo durante una tutoría.

3) Una prueba presencial de conocimientos teóricos y resolución de problemas (prueba de evaluación continua del módulo II), valorada en un 40% de la nota final, prevista en la semana 13 del curso.

El examen final (evaluación única) tendrá una duración máxima de 3 horas y constará de dos partes, cada una abarcando uno de los dos módulos de la asignatura. Cada parte será calificada sobre 10, y la nota final será la media ponderada de ambas, calculada asignando un peso del 60% a la parte de Ecuaciones Diferenciales (módulo I) y del 40% a la parte de Variable Compleja (módulo II).

Se considerará agotada la convocatoria cuando el alumno ha participado en las actividades de evaluación continua que cuentan más del 50% en la nota final. En caso contrario se considerará "No presentado".

Para superar la evaluación continua, se exige obtener una calificación de al menos 3.0 sobre 10 en cada uno de los exámenes parciales. En caso contrario, se tomará la del examen de menor puntuación. 

En la evaluación única, si la puntuación obtenida en la prueba es inferior a 3.0, se computará como 3.0 a efectos del cálculo del promedio final.

En la segunda convocatoria del curso, los alumnos que no hayan superado la asignatura en primera convocatoria, sólo tendrán la opción de superar la asignatura mediante la modalidad de evaluación única, con las mismas particularidades que las reflejadas en la primera convocatoria para esta modalidad. 

El alumnado que se encuentre en la quinta o posteriores convocatorias y desee ser evaluado por un Tribunal, deberá presentar una solicitud a través del procedimiento habilitado en la sede electrónica, dirigida a la persona responsable de su Facultad o Escuela (recomendable concretar según la titulación: Decana, Decano, Director o Directora). Dicha solicitud deberá realizarse con una antelación mínima de diez días hábiles al comienzo del periodo de exámenes.

No se permite el uso de Inteligencia Artificial (IA) en la realización de cualquier actividad sometida a evaluación.

En cumplimiento del Reglamento de Convivencia de la Universidad de La Laguna (art. 16.4), se informa al estudiantado de que durante las pruebas de evaluación presenciales podrán utilizarse dispositivos detectores pasivos de radiofrecuencia y campos magnéticos. Estos dispositivos no emiten señales, no interfieren con las comunicaciones y no registran datos personales. La tenencia y/o uso de dispositivos electrónicos no autorizados podrá constituir infracción disciplinaria conforme a la Ley 3/2022 y al Reglamento de Régimen Disciplinario del Estudiantado de la ULL . Los estudiantes portadores de dispositivos médicos electrónicos deberán comunicarlo antes del inicio de la prueba.

Tipo de prueba	Competencias	Criterios	Ponderación
Pruebas de desarrollo, respuesta larga (son aquellas que requieren respuestas amplias por parte del estudiantado)	[CG02], [CG08], [CE11], [CE24], [CE28], [CE29], [CE30], [CE33]	En las pruebas de evaluación continua de cada módulo los estudiantes tendrán que saber desarrollar y demostrar uno de los teoremas estudiados en clase.	15,00 %
Resolución de casos, ejercicios y problemas (prueba consistente en que el alumnado obtenga, de forma razonada, una solución contrastada y acorde a los criterios establecidos)	[CG02], [CG04], [CG07], [CG08], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [CE11], [CE24], [CE26], [CE28], [CE29], [CE30], [CE31], [CE33], [CE20], [CE2], [CE21], [CE22]	Tanto la evaluación continua como la única tienen un 85% de ejercicios y resolución de problemas y un 15% de teoría. En la evaluación continua, los porcentajes relativos a los problemas y ejercicios son: 40% prueba de evaluación continua del módulo I 15% trabajo final módulo I en grupos reducidos de tres personas. Los estudiantes tendrán que plantear y resolver un problema que involucre ecuaciones diferenciales utilizando los métodos numéricos estudiados en clase. Los resultados se recogerán en un entregable que puntúa 15% de la nota final. El trabajo se presentará oralmente durante una tutoría presencial o telemática. 30% prueba de evaluación continua del módulo II A estos porcentajes hay que sumar el 15% relativo a las pruebas de desarrollo de respuesta larga.	85,00 %

* La distribución de los temas por semana es orientativa, puede sufrir cambios según las necesidades de organización docente.

Semana	Temas	Actividades de enseñanza aprendizaje	Horas de trabajo presencial	Horas de trabajo autónomo	Total
Semana 1:	Módulo I Temas 1 y 2	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	2.00	5.00	7.00
Semana 2:	Tema 2	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	3.00	6.00	9.00
Semana 3:	Temas 2 y 3	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 4:	Tema 3	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 5:	Tema 3 y 4	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 6:	Tema 5	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios Prueba de evaluación contínua módulo I	4.00	7.00	11.00
Semana 7:	Tema 5 y 6	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 8:	Módulo II Tema 1	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 9:	Tema 2	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	3.00	5.00	8.00
Semana 10:	Tema 2	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios Entrega trabajo de evaluación contínua módulo I	4.00	8.00	12.00
Semana 11:	Tema 2 y 3	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 12:	Tema 3	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 13:	Tema 3 y 4	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios Prueba de evaluación contínua módulo II	5.00	7.00	12.00
Semana 14:	Temas 4	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	4.00	8.00
Semana 15:	Tema 4	Clases teóricas Clases prácticas Seminarios	4.00	6.00	10.00
Semana 16 a 18:	Examen final		3.00	0.00	3.00
Total			60.00	90.00	150.00