Cálculo
(Curso Académico 2026 - 2027)

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• 2 - Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.
• 5 - Conocimientos básicos sobre el uso y programación de los ordenadores, sistemas operativos, bases de datos y programas informáticos con aplicación en ingeniería.

• T3 - Conocimiento en materias básicas y tecnológicas, que les capacite para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías, y les dote de versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones.
• T4 - Capacidad de resolver problemas con iniciativa, toma de decisiones, creatividad, razonamiento crítico y de comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas en el campo de la Ingeniería Química Industrial.
• T5 - Conocimientos para la realización de mediciones, cálculos, valoraciones, tasaciones, peritaciones, estudios, informes, planes de labores y otros trabajos análogos.
• T9 - Capacidad de trabajar en un entorno multilingüe y multidisciplinar.

• O1 - Capacidad de análisis y síntesis.
• O2 - Capacidad de organización y planificación del tiempo.
• O4 - Capacidad de expresión escrita.
• O5 - Capacidad para aprender y trabajar de forma autónoma.
• O6 - Capacidad de resolución de problemas.
• O7 - Capacidad de razonamiento crítico/análisis lógico.
• O8 - Capacidad para aplicar los conocimientos a la práctica.

• CB1 - Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
• CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3 - Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5 - Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

- Temas (epígrafes):

Tema 1. Cálculo diferencial en varias variables.
Funciones de 2 y 3 variables. Curvas y superficies de nivel. Cónicas y cuádricas. Límites y Nociones de continuidad. Curvas y superficies de nivel. Derivadas parciales. Diferencial total. Regla de la cadena. Derivación implícita. Derivadas direccionales, gradiente y planos tangentes. Polinomio de Taylor. Extremos de funciones de dos variables. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.

Tema 2. Cálculo integral en varias variables.
Integral doble sobre rectángulos e interpretación como volumen bajo una superficie. Propiedades de la integral doble. Integrales iteradas. Teorema de Fubini. Integral doble sobre recintos más generales (Recintos tipo I y II). Cambios de variables (cambios lineales y a polares). Aplicaciones: Valor medio, cálculo de centros de gravedad y momentos de inercia, área de una superficie. Integral triple sobre prismas rectos. Integrales iteradas. Teorema de Fubini. Integral triple en recintos más generales. Cambios de variable en integral triple (coordenadas cilíndricas y esféricas). Aplicaciones de la integral triple.

Tema 3. Integrales curvilíneas y de superficie.
Curvas y sus parametrizaciones en el plano y en el espacio. Integral de Línea de primera especie. Aplicaciones a cálculo de longitudes, masas, centros de gravedad, momentos de inercia. Campos vectoriales en el plano y en el espacio. Campos conservativos, caracterizaciones. Integral de Línea de segunda especie y su interpretación como Trabajo realizado por un campo. Teorema fundamental de las integrales de línea. Principio de conservación de la Energía. Teorema de Green en el plano. Aplicaciones al cálculo de áreas. Integrales de superficie. Teorema de Stokes.

Tema 4. Resolución numérica de ecuaciones no-lineales.
Introducción. Teorema de Bolzano. Método de Bisección y su convergencia. Método de Newton-Raphson y su convergencia.

 

- Parte del material proporcionado estará en inglés.
- Consulta de bibliografía básica en lengua inglesa relacionada con el temario.

Consideraremos clases magistrales teórico-prácticas, prácticas específicas en grupos reducidos, seminarios y tutorías. Los epígrafes se desarrollan en forma resumida, dada la limitación de tiempo y la orientación instrumental de la asignatura. Por tanto, se omiten, en su mayor parte, las demostraciones de los teoremas y propiedades, enseñando sólo su uso correcto, orientado a las aplicaciones en la ingeniería. Se explican los conceptos y el significado de los teoremas mediante ejemplos, dando interpretaciones gráficas cuando sea posible. Se hace uso de una nomenclatura lo más clara posible, que sea de uso frecuente entre científicos e ingenieros.

Nos ayudaremos de herramientas de cálculo simbólico, de IA y gráficas para el apoyo al estudio y las explicaciones de clase. No serán usadas en las pruebas de evaluación. Serán herramientas libres y gratuitas.

Se utilizará la plataforma de docencia virtual de la ULL como medio de transmisión de los distintos materiales repartidos a lo largo del curso.

Respecto al volumen de trabajo no presencial del estudiante, se consideran 90 horas de estudio autónomo de cara a preparar las sesiones teórico-prácticas, así como a la realización de ejercicios y pruebas de evaluación.

En caso de situaciones de riesgo derivadas de fenómenos meteorológicos adversos, se seguirán las siguientes directrices: - Si se declara en la Universidad de La Laguna nivel 2 (amarillo), las actividades docentes se desarrollarán conforme a las directrices marcadas por la Universidad de La Laguna. - Si se declara en la Universidad de La Laguna nivel 3 (naranja) o 4 (rojo), se suspenderán las actividades docentes presenciales y, previa información al alumnado por los canales disponibles, se actuará para garantizar la continuidad del aprendizaje y la atención al alumnado mientras se mantengan estos niveles de alerta.

Actividades formativas	Horas presenciales	Horas de trabajo autónomo	Total horas	Relación con competencias
Clases teóricas o de problemas a grupo completo	27,00	0,00	27,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [5], [O7]
Realización de trabajos (individual/grupal)	0,00	15,00	15,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [5], [O7]
Estudio/preparación de clases teóricas	0,00	30,00	30,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [O7]
Estudio/preparación de clases prácticas	0,00	25,00	25,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [5], [O7]
Preparación de exámenes	0,00	20,00	20,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [5], [O7]
Realización de exámenes	3,00	0,00	3,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [5], [O7]
Asistencia a tutorías, presenciales y/o virtuales, a grupo reducido	2,00	0,00	2,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [O7]
Prácticas de laboratorio o en sala de ordenadores a grupo reducido	28,00	0,00	28,0	[T3], [T4], [T9], [O4], [O6], [O8], [CB1], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [O5], [T5], [O1], [O2], [2], [5], [O7]
Total horas
Total ECTS

Larson, R., Hostetler, R.P., Edwards, B. H.: "Cálculo", Ed. McGraw-Hill 2008.

Marsden, J.E., Tromba, A.J.: "Cálculo vectorial", Ed. Addison-Wesley, 1998.
 

Vázquez, L., Jiménez, S. Aguirre, C., Pascual, P.J.: "Métodos numéricos para la física y la ingeniería", Ed. McGraw-Hill, 2009

Plataforma de docencia virtual de la Universidad de La Laguna (http://campusvirtual.ull.es)
Cálculo integral vectorial, http://campusvirtual.ull.es/ocw/course/view.php?id=25
Software libre de cálculo simbólico y numérico (wxMaxima o similar)

La Evaluación de la asignatura se sigue lo establecido en el Reglamento de Evaluación y Calificación (REC) de la Universidad de La Laguna, además de por lo establecido en la actual Memoria Modificación por la que se rige la titulación. Todo el alumnado está sujeto a EVALUACIÓN CONTINUA

• en la primera convocatoria de la asignatura (MAYO).

El alumnado que quiera renunciar a la evaluación continua, y ser evaluado en una prueba FINAL ÚNICA

• , la podrá hacer siempre que:
• no haya completado el 65% de las actividades de la evaluación continua y
• lo haya solicitado en tiempo y forma por medio del cuestionario habilitado para tal efecto en el campus virtual de la asignatura.

Modalidad de Evaluación Continua (EC) La EC consta de tres pruebas de seguimiento. En todas las pruebas, se combinarán pruebas de respuesta corta y pruebas de desarrollo. En cualquier caso, no se tendrán en cuenta aquellas respuestas que no vengan acompañadas de las correspondientes explicaciones y/o desarrollos de los ejercicios. Pruebas a realizar en el periodo de clases: a) Primera prueba (semana 5 aprox.): contenidos impartidos en el primer mes de clase. La nota obtenida será ponderada al 30% de calificación final. b) Segunda prueba (semana 10 aprox.): contenidos no evaluados en la primera prueba y que cubran hasta la fecha de esta prueba . La nota obtenida será ponderada al 35% de calificación final. c) Tercera prueba (semana 15 aprox.): contenidos no evaluados hasta el momento. La nota obtenida será ponderada al 35% de calificación final. Estas tres pruebas se realizarán una vez finalizadas las clases del temario correspondiente, fuera del horario de clases.

• Para aplicar las ponderaciones anteriores, será imprescindible que el alumnado haya obtenido una nota superior a 4 en cada una de las tres pruebas. Si un estudiante no cumple este requisito, en el acta de la asignatura se le asignará la mayor de las notas menores que 4 que haya obtenido.
• Las calificaciones de las TRES PRUEBAS realizadas a lo largo del periodo de clases se mantendrán válidas en todas las convocatorias del curso (MAYO – JUNIO/ JULIO).
• El alumnado que no haya superado alguna de estas tres pruebas podrá optar por hacer una recuperación el día, fecha y hora que el Centro ha asignado al examen de evaluación única de las convocatorias de la asignatura (MAYO-JUNIO/JULIO).
• El alumnado podrá presentarse a todo o a partes según sea su situación con respecto a las pruebas realizadas y aprobadas en el período de clases:
• Para los alumnos que hayan conseguido superar la asignatura con las calificaciones de las actividades anteriores (ponderación de las pruebas 1ª, 2ª y 3ª) no tendrán obligación de presentarse a nada.
• Para los alumnos que no hayan conseguido superar la asignatura con las calificaciones de las actividades anteriores, les permitirá recuperar las partes suspendidas. Estas recuperaciones deben hacerse de forma completa de todos los Bloques temáticos suspendidos.

El alumnado que se presente a dos de las tres pruebas se considerará presentado a la evaluación continua en la primera convocatoria.
Modalidad de Evaluación Única (EU): La evaluación única constará de un examen escrito teórico/práctico de todo el temario de la asignatura que se puntuará de 0 a 10 puntos. Se realizará en la fecha y hora de las Convocatorias Oficiales marcadas por el Centro (MAYO – JUNIO/ JULIO). El alumnado que se encuentre en la quinta o posteriores convocatorias y desee ser evaluado por un Tribunal, deberá presentar una solicitud a través del procedimiento habilitado en la sede electrónica, dirigida al/la Director/a de la Escuela Superior de Ingeniería y Tecnología. Dicha solicitud deberá realizarse con una antelación mínima de diez días hábiles al comienzo del periodo de exámenes.

Tipo de prueba	Competencias	Criterios	Ponderación
Pruebas de ejecución de problemas	[T5], [T3], [O7], [O5], [O8], [O1], [T9], [CB3], [CB2], [O4], [O2], [CB5], [CB4], [O6], [CB1], [2], [T4], [5]	Evaluación continua: Pruebas a realizar en el periodo de clases: a) Primera prueba (semana 5 aprox.): contenidos impartidos en el primer mes de clase. La nota obtenida será ponderada al 30% de calificación final. b) Segunda prueba (semana 10 aprox.): contenidos no evaluados en la primera prueba y que cubran hasta la fecha de esta prueba . La nota obtenida será ponderada al 35% de calificación final. c) Tercera prueba (semana 15 aprox.): contenidos no evaluados hasta el momento. La nota obtenida será ponderada al 35% de calificación final. Evaluación única: La evaluación única constará de un examen escrito teórico/práctico de todo el temario de la asignatura que se puntuará de 0 a 10 puntos.	100,00 %

La asignatura se desarrollará en 15 semanas de clase según la siguiente distribución de horas:

• 2 horas semanales de teoría y problemas en el aula magistral.
• 2 horas semanales de ejercicios prácticos en grupos reducidos en el aula magistral o en los laboratorios de prácticas.

La distribución de los temas y de las actividades de enseñanza aprendizaje por semana es orientativa, pues puede sufrir cambios por necesidades de la organización docente.

Semana	Temas	Actividades de enseñanza aprendizaje	Horas de trabajo presencial	Horas de trabajo autónomo	Total
Semana 1:	Tema 1	Clases teóricas y de problemas.	4.00	5.00	9.00
Semana 2:	Tema 1	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 3:	Tema 1	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 4:	Tema 1	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 5:	Tema 2	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador). Primera Prueba de evaluación con una ponderación del 30% sobre la calificación de la evaluación continua.	4.00	5.00	9.00
Semana 6:	Tema 2	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 7:	Tema 2	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 8:	Tema 2	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 9:	Tema 2	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 10:	Tema 3	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador). Segunda Prueba de evaluación con una ponderación del 35% sobre la calificación de la evaluación continua.	4.00	5.00	9.00
Semana 11:	Tema 3	Clases teóricas, de problemas y de prácticas de ordenador.	4.00	5.00	9.00
Semana 12:	Tema 3	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 13:	Tema 3	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 14:	Tema 3/4	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador).	4.00	5.00	9.00
Semana 15:	Tema 4	Clases teóricas y de problemas (con y/o sin ordenador). Tercera Prueba de evaluación con una ponderación del 35% sobre la calificación de la evaluación continua.	4.00	5.00	9.00
Semana 16 a 18:	EVALUACIÓN	Evaluación única y trabajo autónomo del alumnado que no haya superado la evaluación continua o haya optado por la evaluación final única.	0.00	15.00	15.00
Total			60.00	90.00	150.00