{"id":2721,"date":"2019-09-27T09:30:14","date_gmt":"2019-09-27T09:30:14","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ull.es\/portal\/cienciaull\/?p=2721"},"modified":"2020-09-03T08:06:20","modified_gmt":"2020-09-03T08:06:20","slug":"ley-de-benford-la-fuerza-de-uno","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ull.es\/portal\/cienciaull\/ley-de-benford-la-fuerza-de-uno\/","title":{"rendered":"Ley de Benford: la fuerza de uno"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n

FECHA:\u00a0<\/strong>27\/09\/2019<\/p>\n

AUTORA <\/span>ISABEL MARRERO
<\/b>IM\u00c1GENES <\/span>UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA<\/b><\/p>\n

<\/b>Profesora Titular de An\u00e1lisis Matem\u00e1tico<\/span><\/em><\/p>\n

Es m\u00e1s probable que un n\u00famero empiece por 1 o por 9? Parecer\u00eda l\u00f3gico que cualquier d\u00edgito del 1 al 9 tuviese la misma probabilidad (1\/9, es decir, el 11,11%) de encabezar un n\u00famero; sin embargo, esta intuici\u00f3n es falsa. La ley de Benford (LB) o ley del primer d\u00edgito asegura que, en el mundo real, el 1 aparece como primera cifra con mucha m\u00e1s frecuencia que el resto. Adem\u00e1s, cuanto mayor es el d\u00edgito, menos probable es que se encuentre en primera posici\u00f3n.<\/span><\/p>\n

La LB es un ejemplo paradigm\u00e1tico de la ley de eponimia de Stigler (1980): \u00abNing\u00fan descubrimiento cient\u00edfico recibe el nombre de quien lo descubri\u00f3 en primer lugar\u00bb. Para las operaciones aritm\u00e9ticas con n\u00fameros de muchas cifras se suelen utilizar logaritmos. Antes del advenimiento de las calculadoras y ordenadores, los logaritmos se calculaban mediante tablas. Fue Simon Newcomb (1835-1909, pol\u00edmata estadounidense nacido en Canad\u00e1 que lleg\u00f3 a ser presidente de la American Mathematical Society) quien primero observ\u00f3, hacia 1881, que las primeras p\u00e1ginas de los libros de tablas de logaritmos \u2013correspondientes a los n\u00fameros con d\u00edgitos iniciales 1 y 2\u2013 aparec\u00edan mucho m\u00e1s sucias y ajadas que las \u00faltimas \u2013las de los d\u00edgitos 8 y 9\u2013: por alguna raz\u00f3n, el primer grupo de n\u00fameros era mucho m\u00e1s buscado que el resto. Newcomb enunci\u00f3 que \u00abla ley de probabilidad de la ocurrencia de n\u00fameros es tal que las mantisas [partes decimales] de sus logaritmos son equiprobables\u00bb, obteniendo probabilidades para el valor del primer y segundo, d\u00edgitos significativos (tabla 2).<\/span><\/p>\n

El hallazgo de Newcomb, que \u00e9ste trat\u00f3 como evidente, pas\u00f3 desapercibido para sus coet\u00e1neos. En 1938, el f\u00edsico estadounidense Frank Benford (1883-1948), investigando para General Electric en Nueva York, observ\u00f3 de manera independiente el mismo fen\u00f3meno en las tablas de logaritmos que \u00e9l manejaba. Para corroborarlo, recopil\u00f3 20229 n\u00fameros provenientes de 20 fuentes muy dispares entre s\u00ed (ver tabla 3). Y en efecto, los primeros d\u00edgitos de todos esos n\u00fameros mostraron una extra\u00f1a adherencia a la regla descrita por Newcomb, que Benford formul\u00f3, de nuevo heur\u00edsticamente, como sigue: \u00abLa probabilidad de que un n\u00famero comience por el d\u00edgito d<\/em> es P<\/em>(d\u00edgito inicial=d<\/em>) = log10<\/sub>(1+1\/d<\/em>), d<\/em>=1,2,\u2026,9\u00bb.\u00a0<\/span><\/p>\n

El art\u00edculo de Benford tuvo mucha mayor repercusi\u00f3n que el de Newcomb; a ello contribuy\u00f3, seguramente, el haber sido publicado junto a un trabajo de otros autores sobre la dispersi\u00f3n de los electrones que pronto alcanzar\u00eda gran notoriedad. As\u00ed, la que Benford bautiz\u00f3 como ley de los n\u00fameros an\u00f3malos<\/em> acabar\u00eda siendo atribuida a su redescubridor.<\/p>\n

Cabe pensar que la distribuci\u00f3n de los d\u00edgitos en las series de datos se deber\u00eda mantener aunque cambien las unidades de medida (e.g. kil\u00f3metros en vez de millas) o el sistema de numeraci\u00f3n (e.g. hexadecimal en vez de decimal). En 1961<\/a>, Roger Pinkham<\/a> prob\u00f3 que la LB es la \u00fanica distribuci\u00f3n de probabilidad para el primer d\u00edgito que permanece invariante bajo cambios de escala. Adem\u00e1s, la LB es adaptable a sistemas de numeraci\u00f3n en cualquier base b<\/em>, en cuyo caso P<\/em>(d\u00edgito inicial=d<\/em>) = logb<\/sub><\/em>(1+1\/d<\/em>), d<\/em>=1,2,\u2026,9.<\/p>\n

La primera demostraci\u00f3n rigurosa de la LB se debe a Theodore Hill, quien en 1995 estableci\u00f3 que \u00abla LB es la distribuci\u00f3n de todas las distribuciones\u00bb: si tomamos al azar una serie de distribuciones y las mezclamos, entonces los primeros d\u00edgitos del conjunto de valores resultante siguen la LB. Este hecho puede explicar la asombrosa ubicuidad de los datos que la cumplen: muchas magnitudes son el resultado de la interferencia aleatoria de varias otras.<\/span><\/p>\n

\u00bfResulta realmente tan sencillo encontrar conjuntos de n\u00fameros que confirmen la LB? (fig. 6). El lector puede cerciorarse por s\u00ed mismo actualizando los datos y\/o reproduciendo la experiencia de esta web. Si se encuentra inc\u00f3modo manejando hojas de c\u00e1lculo, bastar\u00e1 con que elija las distintas bases de datos disponibles en el men\u00fa desplegable de este otro verificador de la LB en l\u00ednea.<\/span><\/p>\n

LEY DE BENFORD<\/b><\/p>\n

\u00a0<\/b><\/b>La LB no es una ley universal: tiene limitaciones. Para su validez, la muestra de n\u00fameros debe ser variada y abarcar diversos \u00f3rdenes de magnitud, estar libre de condicionamientos y sesgos, y no ser completamente aleatoria. En particular, \u00a1malas noticias!: la LB no es aplicable a la loter\u00eda ni a los juegos de azar…<\/span><\/p>\n

Entonces, \u00bfpara qu\u00e9 sirve? Al margen de su inter\u00e9s como objeto de estudio de la teor\u00eda de probabilidades, hasta la fecha, su principal aplicaci\u00f3n ha sido la detecci\u00f3n de irregularidades en series de datos. Una vez constatado (a menudo emp\u00edricamente) que las cantidades asociadas a determinados procesos satisfacen la LB, es posible identificar como falsos aquellos conjuntos de n\u00fameros supuestamente resultantes de tales procesos que no se ajusten a ella o, incluso, descartar los propios procesos. Por ejemplo, si se sabe que las cantidades asociadas a un cierto fen\u00f3meno f\u00edsico modelizado matem\u00e1ticamente satisfacen la LB, las correspondientes simulaciones num\u00e9ricas tambi\u00e9n deben satisfacerla; de lo contrario, el modelo queda falsado.<\/span><\/p>\n

En 1992, el experto en contabilidad Mark Nigrini comprob\u00f3 que los datos financieros se ajustan muy bien a la LB y la aplic\u00f3, por primera vez, a la auditor\u00eda forense: cabe sospechar que un conjunto de datos contables cuyas primeras cifras significativas no siguen la LB est\u00e1n maquillados. La LB no brinda una respuesta categ\u00f3rica sobre la existencia o inexistencia de fraude, pero sirve de alerta. Nigrini (2012) explica la utilizaci\u00f3n de la LB en casos medi\u00e1ticos como los de Enron, AIG, Madoff, Bill Clinton o Lehman Brothers. No en vano, la LB se ha convertido en la ley matem\u00e1tica favorita del Internal Revenue Service (IRS), la agencia tributaria estadounidense, que consigui\u00f3 encarcelar al m\u00edtico Al Capone por evasi\u00f3n fiscal; \u00a1tan s\u00f3lo por eso, merecer\u00eda ser tenida en cuenta! En Espa\u00f1a, en 2013, el matem\u00e1tico de la Universidad de Sevilla Miguel Lacruz confront\u00f3 los famosos papeles de B\u00e1rcenas con la LB, apreciando indicios de manipulaci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

Desde el trabajo pionero de Nigrini, las \u00e1reas de aplicaci\u00f3n de la LB han ido aumentando espectacularmente. La web benfordonline.net re\u00fane una complet\u00edsima bibliograf\u00eda, tanto te\u00f3rica como aplicada, sobre ella; cronol\u00f3gicamente, arranca con el art\u00edculo de Newcomb de 1881 y un 70% de los \u00edtems son posteriores al a\u00f1o 2000, lo que da cumplida idea del creciente inter\u00e9s que esta ley est\u00e1 suscitando en la comunidad cient\u00edfica. Los d\u00edgitos directores de las citas recibidas por art\u00edculos que referencian los de Newcomb y Benford tambi\u00e9n siguen la LB. Y es que, como afirm\u00f3 Nigrini: \u00abLa LB no es m\u00e1gica, pero a veces lo parece\u00bb.<\/span><\/p>\n\n\n

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