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En este subproyecto proponemos tres l\u00edneas de investigaci\u00f3n. La primera se centra en la convergencia e implementaci\u00f3n de los as\u00ed llamados m\u00e9todos SAFERK (Stiffly Accurate First Explicit Runge-Kutta). Esta familia uniparam\u00e9trica de m\u00e9todos provee m\u00e9todos RungeKutta con el mismo orden que los m\u00e9todos cl\u00e1sicos RAdau IIA del mismo n\u00famero de etapas impl\u00edcitas, mientras que poseen menores coeficientes de error. El par\u00e1metro libre de la familia se puede seleccionar para minimizar coeficientes de error o maximizar el amortiguamiento de las componentes r\u00edgidas del problema en consideraci\u00f3n. Los m\u00e9todos admiten una implementaci\u00f3n adaptativa como en los perfeccionados c\u00f3digos RADAU5 y RADAU, basados en los m\u00e9todos Radau IIA. De hecho, esta familia de m\u00e9todos ha demostrado ser competitiva respecto a otros m\u00e9todos num\u00e9ricos est\u00e1ndar en la integraci\u00f3n num\u00e9rica de sistemas r\u00edgidos y Ecuaciones Diferenciales Algebraicas, esto es, ecuaciones diferenciales dotadas de restricciones algebraicas. Ahora pretendemos extender el an\u00e1lisis de convergencia a grandes sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones Diferenciales Algebraicas provenientes de la discretizaci\u00f3n espacial de Ecuaciones en Derivadas Parciales y Ecuaciones en Derivadas Parciales Algebraicas, respectivamente, por medio del M\u00e9todo de L\u00edneas. Particularmente interesante es el fen\u00f3meno de reducci\u00f3n de orden asociado a las condiciones de frontera dependientes del tiempo, y es es un objetivo clave de esta primera l\u00ednea de investigaci\u00f3n el describir c\u00f3mo los m\u00e9todos SAFERK se ven afectados por tales condiciones de frontera (bien de tipo Dirichlet o de tipo Neumann) en comparaci\u00f3n con los m\u00e9todos de la familia Radau IIA. La segunda l\u00ednea de investigaci\u00f3n est\u00e1 dedicada a la integraci\u00f3n temporal de ecuaciones diferenciales que surgen de la discretizaci\u00f3n espacial de ecuaciones en derivadas parciales en varias dimensiones espaciales considerando las clases de ROW- y W-m\u00e9todos en combinaci\u00f3n con la Factorizaci\u00f3n Matricial Aproximada. En particular, estaremos interesados en obtener pares de tales m\u00e9todos a efectos de estabilizar algunos pares de m\u00e9todos Runge-Kutta expl\u00edcitos bien conocidos que han sido ampliamente utilizados en la integraci\u00f3n num\u00e9rica de problemas r\u00edgidos o moderadamente r\u00edgidos, como los pares de Bogachi y Shampine (de \u00f3rdenes 2 y 3) o el de Dormand y Prince (de \u00f3rdenes 4 y 5). Estos pares han sido considerados para producir c\u00f3digos comerciales en Matlab y son los integradores base de los c\u00f3digos ode23 y ode45 en Matlab, respectivamente. Sin embargo, tales c\u00f3digos no pueden tratar problemas r\u00edgidos debido a su naturaleza expl\u00edcita. En consecuencia, es nuestro objetivo obtener W-m\u00e9todos eficientes que extiendan pares de m\u00e9todos Runge-Kutta expl\u00edcitos a efectos de hacerlos adecuados a trav\u00e9s de estabilizaci\u00f3n para la integraci\u00f3n temporal de grandes sistemas r\u00edgidos. Exploraremos pares eficientes de W-m\u00e9todos no s\u00f3lo estudiando estabilidad sino tambi\u00e9n tratando de evitar el fen\u00f3meno de reducci\u00f3n de orden debido a condiciones de frontera dependientes del tiempo. Finalmente, en la tercera l\u00ednea de investigaci\u00f3n exploraremos el uso de W-m\u00e9todos para la integraci\u00f3n temporal de Ecuaciones en Derivadas Parciales parab\u00f3licas en los que aparecen derivadas de segundo orden mixtas. Estos problemas surgen en una gran variedad de aplicaciones, aunque nosotros nos centraremos en modelos pr\u00e1cticos de la matem\u00e1tica financiera (modelos de Heston).
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\nIn this subproject we propose three lines of research. The first one focuses on the convergence and implementation of the so-called SAFERK methods (standing for Stiffly Accurate First Explicit Runge-Kutta). These one-parameter family of methods provides Runge-Kutta methods with the same order as the classical Radau IIA methods for the same number of implicit stages, while providing smaller error coefficients. The free parameter of the family can be selected in order to either minimize error coeficients or maximize damping for the stiff components of the differential problem under consideration. The methods allow an analogous adaptive implementation as it is done in the perfected stiff codes RADAU5 and RADAU, based on the Runge-Kutta-Radau IIA methods. In fact, this family of methods has proved to be competitive to other state-of-the-art numerical methods for the numerical integration of stiff systems and Differential Algebraic Equations, that is, differential equations which are also endowed with algebraic constrainst. We now intend to extend the convergence analysis to large systems of Ordinary Differential Equations and Differential Algebraic Equations coming from the spatial discretization of Partial Differential Equations and Partial Differential-Algebraic Equations, respectively, by means the Method of Lines. Particularly interesting is the order reduction phenomenon associated to time dependent boundary conditions, and it is key goal of this first line of research to describe how SAFERK methods are affected by such boundary conditions (either of Dirichlet or Neumann type) in comparison to methods of the Radau IIA family. The second line of research is devoted to the time integration of differential equations arising in the spatial discretization of partial differential equations in several spatial dimensions by considering the classes of ROW- and W-methods in combination with the Approximate Matrix Factorization. In particular, we will be interested in deriving pairs of such methods in order to stabilize some wellknown pairs of explicit Runge-Kutta methods which have been extensively used in the numerical integration of non-stiff or mildly stiff problems, like the pairs by Bogacki and Shampine (with orders 2 and 3) or by Dormand and Prince (with orders 4 and 5). These pairs have been considered in order to produce commercial codes in Matlab and are the base integrators of the codes ode23 and ode45 in Matlab, respectively. However such codes cannot cope with very stiff problems due to their explicit nature. Hence, we aim at obtaining efficient Wmethods extending relevant pairs of explicit Runge-Kutta so as to make them suitable through stabilization for the time integration of very large stiff systems. Efficient pairs of W-methods will be explored not only looking at the stability issues, but also at avoiding the order reduction phenomenon for time dependent boundary conditions. Finally, in the third line of research we will explore the use of W-methods for the time integration of parabolic Partial Differential Equations where mixed second order derivatives are present. These problems arise in a number of applications, although we will concentrate in practical models from financial mathematics (Heston models).<\/p>\n
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