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El proyecto de investigaci\u00f3n propuesto se encuadra dentro del An\u00e1lisis Arm\u00f3nico. Esta \u00e1rea de estudio est\u00e1 conectada con otros campos de trabajo. Entre ellos est\u00e1n las ecuaciones en derivadas parciales, espacios de funciones y la teor\u00eda de se\u00f1ales. En Espa\u00f1a el an\u00e1lisis arm\u00f3nico ocupa a muchos investigadores y en varias universidades existen grupos de trabajo con prestigio internacional en esta rama del an\u00e1lisis. En los \u00faltimos a\u00f1os se han obtenido importantes resultados sobre conmutadores lineales y multilineales asociados a integrales fraccionarias y singulares en diferentes espacios. Nos proponemos estudiar la acotaci\u00f3n y la compacidad de conmutadores para transformadas de Riesz, integrales fraccionarias y operadores de Littlewood-Paley en espacios de Lebesgue y de Morrey en el contexto del operador de Bessel. En el marco de los espacios de Lebesgue con pesos, nos planteamos encontrar el espacio \u00f3ptimo en relaci\u00f3n con el problema de valor inicial asociado a la ecuaci\u00f3n del calor que contiene a potencias fraccionarias de operadores diferenciales en forma divergente, que incluyen como caso particular al Laplaciano fraccionario. El an\u00e1lisis arm\u00f3nico en el contexto de los sistemas ortogonales (Hermite, Jacobi, Laguerre,) ha sido un \u00e1rea activa de trabajo en la \u00faltima d\u00e9cada. Nos proponemos extender el estudio de las transformadas de Riesz y los multiplicadores espectrales asociados a estos sistemas a espacios de formas diferenciales. Los potenciales de capa son una \u00fatil herramienta para analizar la existencia y unicidad de soluciones para diferentes problemas de valores en la frontera (Dirichlet, Neumann y regularidad) para ecuaciones en derivadas parciales. Pretendemos utilizar este procedimiento para analizar la solubilidad de esta clase de problemas asociados a ecuaciones en forma divergente, con matrices complejas de coeficientes variables, y perturbados con un potencial. El desarrollo del an\u00e1lisis arm\u00f3nico en contextos gaussianos requiere de m\u00e9todos espec\u00edficos. Nos planteamos algunos problemas en este marco. En particular, nos proponemos estudiar espacios de Hardy asociados a desarrollos en polinomios de Laguerre y operadores de Littlewood-Paley para semigrupos de Ornstein-Uhlenbeck no sim\u00e9tricos. Conectando las ond\u00edculas con el an\u00e1lisis arm\u00f3nico vectorial, pretendemos caracterizar diferentes espacios de funciones con valores en un espacio de Banach (BMO, Hardy,) definidos sobre espacios de tipo homog\u00e9neo mediante su coeficientes respecto a bases de ond\u00edculas. Relacionados con el operador p(.)-Laplaciano, donde p es una funci\u00f3n, se ha desarrollado el campo de los espacios (Lebesgue, Besov, Sobolev,) con exponente variable. Pretendemos estudiar los espacios de Hardy y Hardy-Lorentz con exponente variable asociados a anisotrop\u00edas y tambi\u00e9n en el contexto de las martingalas.<\/p>\n
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The proposed research project fits in the Harmonic Analysis. This area of study is connected with other fields. Partial differential equations, function spaces and the theory of signals are some of them. In Spain harmonic analysis employs many researchers, and several universities have working groups with international prestige in this branch of analysis. In recent years important results on linear and multilinear commutators associated with fractional and singular integrals in different spaces have been achieved. We intend to study the boundedness and compactness of commutators for Riesz transforms, fractional integrals and Littlewood-Paley operators in Lebesgue and Morrey spaces in the context of Bessel operators. In the framework of Lebesgue spaces with weights, we plan to find optimal spaces in relation to the initial value problem associated with the heat equation containing fractional powers of differential operators with divergent form, including as a special case the fractional Laplacian. Harmonic analysis in the context of orthogonal systems (Hermite, Jacobi,
\nLaguerre, …) has been an active area of work in the last decade. We intend to extend the study of Riesz transforms and spectral multipliers associated with these systems to spaces of differential forms. Layer potentials are a useful tool for analyzing the existence and uniqueness of solutions for different problems of boundary value (Dirichlet, Neumann and regularity) for partial differential equations. Our purpose is to use this procedure to analyze the solubility of this class of problems associated with divergent form partial differential equations involving complex matrices with variable coefficients and perturbed with potentials. The development of harmonic analysis in Gaussian contexts requires specific methods. We want to study some problems in this framework. In particular, we propose to investigate Hardy spaces associated with Laguerre polynomials expansions and Littlewood-Paley operators for non-symmetrical Ornstein-Uhlenbeck semigroups. Connecting wavelets with harmonic analysis in a vector valued context, we aim to characterize different spaces of functions with values in a Banach space (BMO, Hardy, …) defined on spaces of homogeneous type, with respect to its coefficients wavelet bases. Related to the operator p(.)- Laplacian where p is a function, has been developed the field of variable exponent spaces (Lebesgue, Besov, Sobolev, …). We intend to study Hardy and Hardy Lorentz variable exponent spaces associated with anisotropy and also in the context of martingales.<\/p>\n
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