MM. MM. III: Cálculo Integral
(Curso Académico 2019 - 2020)

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• CG2 - Adquirir una sólida base teórica, matemática y numérica, que permita la aplicación de la Física a la solución de problemas complejos mediante modelos sencillos
• CG4 - Desarrollar la habilidad de identificar los elementos esenciales de un proceso o una situación compleja que le permita construir un modelo simplificado que describa, con la aproximación necesaria, el objeto de estudio y permita realizar predicciones sobre su evolución futura. Así mismo, debe ser capaz de comprobar la validez del modelo introduciendo las modificaciones necesarias cuando se observen discrepancias entre las predicciones y las observaciones y/o los resultados experimentales.
• CG7 - Ser capaz de participar en debates científicos y de comunicar tanto de forma oral como escrita a un público especializado o no cuestiones relacionadas con la Ciencia y la Física. También será capaz de utilizar en forma hablada y escrita otro idioma, relevante en la Física y la Ciencia en general, como es el inglés.
• CG8 - Poseer la base necesaria para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía, tanto desde la formación científica, (realizando un master y/o doctorado), como desde la actividad profesional.

• CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio
• CB3 - Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética
• CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado
• CB5 - Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía

• CE2 - Conocer, comprender y dominar el uso de los métodos matemáticos y numéricos más comúnmente utilizados en Física.
• CE11 - Adquirir destreza en la modelización matemática de fenómenos físicos.
• CE20 - Utilizar herramientas informáticas en el contexto de la matemática aplicada.
• CE21 - Aprender a programar en un lenguaje relevante para el cálculo científico.
• CE22 - Aprender a utilizar el ordenador como herramienta básica para el cálculo científico y la modelización numérica
• CE24 - Afrontar problemas y generar nuevas ideas que puedan solucionarlos
• CE26 - Dominar la expresión oral y escrita en lengua española, y también en lengua inglesa, dirigida tanto a un público especializado como al público en general.
• CE28 - Adquirir hábitos de comportamiento ético en laboratorios científicos y en aulas universitarias.
• CE29 - Organizar y planificar el tiempo de estudio y trabajo, tanto individual como en grupo.
• CE30 - Saber discutir conceptos, problemas y experimentos defendiendo con solidez y rigor científico sus argumentos.
• CE31 - Saber escuchar y valorar los argumentos de otros compañeros.
• CE33 - Ser capaz de identificar lo esencial de un proceso / situación y establecer un modelo de trabajo del mismo.

Profesores: José Claudio Sabina de Lis (Grupo de Teoría), Manuel Alejandro Sanabria García (Grupos de Prácticas)
Temas:
1. La integral de Riemann. Propiedades. Teorema del cambio de variable.
2. Teoremas fundamentales del cálculo. La integral indefinida. Integrales dependientes de un parámetro: teorema de Leibnitz.
3. Métodos elementales de integración: substitución, integración por partes. Integrales trigonométricas, racionales e irracionales.
4. Aplicaciones geométricas de la integral: áreas, volúmenes, superficies de revolución y longitud de arco.
5. Integrales impropias. Convergencia. Funciones Eulerianas: propiedades.
6. La integral de Riemann múltiple. Integrales iteradas. Transformación de integrales por cambio de coordenadas. Aplicaciones geométricas. Centros de masa, momentos de inercia.
7. La integral de línea. Circulación de un campo a lo largo de una curva. Campos conservativos y su caracterización. Función de potencial. Teorema de Green.
8. La integral de superficie. Área de una superficie. Orientación. Flujo de un campo a través de una superficie. Divergencia de un campo. Teorema de Gauss. Teorema de Stokes. Vorticidad de un fluido.

No se contemplan.

La materia se expone semanalmente en dos sesiones de perfil teórico, aunque claramente orientadas a las aplicaciones, y dos sesiones prácticas dedicadas principalmente a la resolución de ejercicios. El contenido teórico de los temas así como la relación de ejercicios y otras actividades a desarrollar por los alumnos, se facilita con antelación a través del aula virtual de la asignatura.

Se efectúa una valoración personal de los progresos del estudiante a través de tres exámenes de seguimiento que comprenden toda la materia expuesta. Si se considerase pertinente, éstos pudieran venir precedidos de sendos cuestionarios virtuales de carácter principalmente orientador.

La culminación del proceso es el examen final.

Actividades formativas	Horas presenciales	Horas de trabajo autónomo	Total horas	Relación con competencias
Clases teóricas	26,00	0,00	26,0	[CG2], [CG4], [CG8], [CB5], [CE2], [CE11]
Clases prácticas (aula / sala de demostraciones / prácticas laboratorio)	15,00	0,00	15,0	[CG2], [CG7], [CG8], [CB2], [CB3], [CE2], [CE28], [CE30], [CE31]
Realización de seminarios u otras actividades complementarias	15,00	0,00	15,0	[CG2], [CG7], [CG8], [CB2], [CB3], [CB4], [CB5], [CE2], [CE28], [CE30], [CE31]
Realización de exámenes	4,00	0,00	4,0	[CG2], [CG4], [CG8], [CE2], [CE24], [CE26], [CE29], [CE33]
Estudio y trabajo autónomo en todas las actividades	0,00	90,00	90,0	[CG2], [CG8], [CE20], [CE21], [CE22], [CE29]
Total horas
Total ECTS

1. J. E. Marsden, A. Tromba, “Cálculo Vectorial”. Addison Wesley, Madrid, 1991.  
2. J. C. Sabina de Lis, "Cálculo integral para funciones de una y varias variables". 2017. Disponible en https://josabina.webs.ull.es/ (y en el aula virtual de la asignatura). 
 

1. P. Puig Adam, "Curso teórico práctico de cálculo integral : aplicado a la física y técnica". Madrid, 1965. 
2. R. Larson, B. H. Edwards, "Cálculo". McGraw-Hill, Madrid, 2006. 
 

La evaluación se llevará a cabo añadiendo a la calificación z(0:10) del examen final, una ponderación c(0:10) de las actividades realizadas a lo largo del curso (evaluación continua). La calificación de la asignatura responderá a la fórmula p = 0.4 c + z (10-0.4 c)/10, siempre que la calificación c(0:10) sea mayor o igual que 5 y que la calificación z(0:10) del examen final sea mayor o igual que 10/3. En otro caso, la nota final será la del examen final: p=z.

La nota c(0:10) de las actividades de la evaluación continua consistirá en la media aritmética de las calificaciones s_1(0:10), s_2(0:10) y s_3(0:10) de los exámenes de seguimiento señalados en el cronograma del curso. Estos seguimientos podrían venir precedidos de sendos ''cuestionarios virtuales'' que orientarán sobre los ejercicios y preguntas fundamentales de la materia.

Para aquellos alumnos que opten por la evaluación única, ésta consistirá en la calificación z(0:10) del examen final.
 

Tipo de prueba	Competencias	Criterios	Ponderación
Pruebas objetivas	[CG2], [CG4], [CG8], [CB2], [CB5]	Examen final de la asignatura en las convocatorias oficiales.	80,00 %
Pruebas de desarrollo	[CG2], [CG8], [CB5], [CE2]	Tres exámenes de seguimiento de una hora repartidos proporcionadamente en el calendario de la asignatura y coordinados con los de las otras  materias del curso.	15,00 %
Trabajos y proyectos	[CG2], [CG8], [CB5], [CE2], [CE11]	Si se estimase oportuno podría proponerse la cumplimentación de cuestionarios virtuales.	5,00 %

La distribución de los temas por semana es orientativo, puede sufrir cambios según las necesidades de organización docente.

Semana	Temas	Actividades de enseñanza aprendizaje	Horas de trabajo presencial	Horas de trabajo autónomo	Total
Semana 1:	1	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	5.00	9.00
Semana 2:	1-2	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	4.00	8.00
Semana 3:	2	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	4.00	8.00
Semana 4:	2-3	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	5.00	9.00
Semana 5:	3	2 teóricas, 2 prácticas. Primer examen de seguimiento.	4.00	5.00	9.00
Semana 6:	3-4	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	4.00	8.00
Semana 7:	4-5	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	4.00	8.00
Semana 8:	5	2 teórica, 2 prácticas.	4.00	4.00	8.00
Semana 9:	6	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	5.00	9.00
Semana 10:	6	2 teóricas, 2 prácticas. Segundo examen de seguimiento.	4.00	5.00	9.00
Semana 11:	6-7	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	4.00	8.00
Semana 12:	7	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	4.00	8.00
Semana 13:	7-8	2 teóricas, 2 prácticas.	4.00	5.00	9.00
Semana 14:	8	2 teóricas, 2 prácticas. Tercer examen de seguimiento.	4.00	5.00	9.00
Semana 15:		Trabajo autónomo del estudiante para la preparación de los exámenes finales.	0.00	5.00	5.00
Semana 16 a 18:	Examen final		4.00	22.00	26.00
Total			60.00	90.00	150.00