Geometría Diferencial de Curvas y Superficies
(Curso Académico 2023 - 2024)

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• CG3 - Desarrollar las capacidades analíticas y de abstracción, la intuición y el pensamiento lógico y riguroso a través del estudio de la Matemática.
• CG5 - Preparar para posteriores estudios especializados, tanto en una disciplina matemática como en cualquiera de las ciencias que requieran buenos fundamentos matemáticos.

• CB5 - Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

• CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
• CE3 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
• CE4 - Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
• CE5 - Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas de las Matemáticas.
• CE6 - Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
• CE7 - Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

• Tema 1: Curvas en el plano y en el espacio: Curvas parametrizadas. Longitud de una curva. Reparametrizaciones. Curvas geométricas.
• Tema 2: Triedro de Frenet. Curvatura y torsión de una curva: Triedro de Frenet. Fórmulas de Frenet. Curvatura y Torsión. Teorema fundamental de la existencia y unicidad de curvas. Curvas especiales.
• Tema 3: Superficies en el espacio. Primera forma fundamental: Superficies regulares. Ejemplos. Plano tangente. Primera forma fundamental.
• Tema 4: Operador forma. Segunda forma fundamental: Operador forma. Curvatura normal. Curvaturas principales. Curvatura de Gauss y curvatura media. Segunda forma fundamental. Clasificación de los puntos de una superficie. Curvas especiales en una superficie.
• Tema 5: Geometría intrínseca: El teorema de Gauss. Geodésicas.

De acuerdo con el plan de estudios, en esta asignatura no son obligatorias actividades en otro idioma.
 

Las clases teóricas se dedicarán a la exposición de contenidos, presentación de ejemplos que ilustren los resultados teóricos, y resolución de ejercicios complementarios que hagan más sencilla la comprensión de la materia. Las clases de problemas estarán dedicadas a la resolución de ejercicios y su posterior corrección y puesta en común. Las clases de seguimiento y tutorías permitirán en unos casos la adquisición de habilidades prácticas y, en otros, servirán para la ilustración de los contenidos teóricos y prácticos.

Actividades formativas	Horas presenciales	Horas de trabajo autónomo	Total horas	Relación con competencias
Clases teóricas	30,00	0,00	30,0	[CE7], [CE6], [CE5], [CE4], [CE3], [CE1], [CB5], [CG5]
Clases prácticas (aula / sala de demostraciones / prácticas laboratorio)	27,00	0,00	27,0	[CE6], [CE4], [CE3], [CE1], [CG3]
Estudio/preparación de clases teóricas	0,00	34,00	34,0	[CE5], [CE4], [CE3], [CE1], [CB5], [CG5], [CG3]
Estudio/preparación de clases prácticas	0,00	33,50	33,5	[CE7], [CE6], [CE5], [CE4], [CE3], [CE1], [CB5], [CG5], [CG3]
Preparación de exámenes	0,00	22,50	22,5	[CE7], [CE6], [CE5], [CE4], [CE3], [CE1], [CB5], [CG5], [CG3]
Realización de exámenes	3,00	0,00	3,0	[CE7], [CE6], [CE5], [CE4], [CE1], [CB5]
Total horas
Total ECTS

Carmo, M. P. do: Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza Editorial, 1995.
Outerelo, E.; Sánchez, J. M.: Geometría diferencial elemental de curvas y superficies. Editorial Sanz y Torres, 2009.

Oprea J.: Differential Geometry and its Applications. Prentice-Hall, 2004 [BULL]
Montesdeoca, Á.: Apuntes de Geometría diferencial de curvas y superficies. Col. Textos Universitario (Consejería de Educación Cultura y Deporte, Gobierno de Canarias), 1996 
Tapp, Kristopher: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics, 2016
Costa, A. F.; Gamboa, J. M.; Porto, A. M.: Ejercicios de geometría diferencial de curvas y superficies. Editorial Sanz y Torres, 2005.
O'Neill, Barret: Elementos de Geometría Diferencial. Limusa, 1990.
Montiel, S.; Ros, A.: Curvas y superficies. Proyecto Sur de Ediciones, 1998.
Abate M., Tovena, F.: Curves and Surfaces, Unitext, Springer, 2012
 

La asignatura dispondrá de un aula virtual dentro del Campus Virtual de la Universidad de La Laguna, donde estará a disposición de los alumnos la guía de cada tema, el listado de ejercicios y problemas, así como recursos visuales para una mejor comprensión de algunos resultados. Se utilizará algún software (Matlab y/o Geogebra) para la representación de curvas y superficies, y el cálculo de sus elementos asociados.

El procedimiento de evaluación se rige por el vigente Reglamento de Evaluación y Calificación de la ULL y lo dispuesto en la Memoria de Modificación del Grado en Matemáticas (febrero de 2019).

Evaluación continua
La evaluación continua se contempla solamente para la primera convocatoria de la asignatura. Consistirá en la realización de dos pruebas de seguimiento, la exposición de problemas y la entrega de una tarea. La ponderación de las actividades en la evaluación continua es la siguiente:

• Exposición de problemas: 10% de la calificación final.
• Entrega de una tarea: 5% de la calificación final.
• Primer seguimiento: 42,5% de la calificación final.
• Segundo seguimiento: 42,5% de la calificación final.

Los seguimientos que no hayan sido superados podrán ser recuperados en la misma fecha del examen de evaluación única de la primera convocatoria.
La superación de la asignatura exigirá obtener al menos 5 puntos sobre 10 en cada una de las actividades evaluativas. En caso de no superar la asignatura por incumplir esta condición, a pesar de que la puntuación total iguale o supere los 5.0 puntos, la calificación final de la asignatura será de suspenso 4.5.

Se entenderá agotada la convocatoria 
Se reflejará la calificación en el acta desde que el alumnado se presente a la segunda prueba de ejecución y desarrollo. En caso contrario será calificado en el acta con un “No presentado”.

Evaluación única. La evaluación única consistirá en la realización de un examen final, sobre todos los contenidos de la asignatura, que combine pruebas de desarrollo (50%) con pruebas de ejecución de tareas reales y/o simuladas (50%). Se celebrará en las fechas que el Centro ha designado para esta modalidad de evaluación.

Para que el estudiante pueda optar a la evaluación única deberá comunicarlo a través del procedimiento habilitado en el aula virtual de la asignatura antes de la finalización del periodo de docencia del primer cuatrimestre.

Quinta o posteriores convocatorias. El alumnado que se encuentre en la quinta o posteriores convocatorias y desee ser evaluado por un Tribunal, deberá presentar una solicitud a través del procedimiento habilitado en la sede electrónica, dirigida a la Decana de Ciencias. Dicha solicitud deberá realizarse con una antelación mínima de diez días hábiles al comienzo del periodo de exámenes.
 

Tipo de prueba	Competencias	Criterios	Ponderación
Pruebas de desarrollo	[CE6], [CE5], [CE4], [CE3], [CE1], [CB5], [CG5], [CG3]	Se realizarán dos pruebas de seguimiento que incluirán preguntas de desarrollo, con ponderación similar.	42,50 %
Trabajos y proyectos	[CE7], [CE1], [CG3]	Se deberá presentar un trabajo/memoria por escrito.	5,00 %
Pruebas de ejecuciones de tareas reales y/o simuladas	[CE7], [CE6], [CE5], [CE4], [CE3], [CE1], [CB5], [CG5]	Se realizarán dos pruebas de seguimiento, que incluirán ejercicios prácticos, con ponderación similar.	42,50 %
Exposición de problemas en clases prácticas.	[CE6], [CG3], [CE7], [CB5]	Exposición de ejercicios resueltos en las clases de problemas.	10,00 %

El siguiente cronograma es orientativo y está sujeto a posibles cambios en la distribución de temas y horas de trabajo.
También se estiman las semanas donde realizar las pruebas de evaluación continua. Se fijarán en la agenda de tercer curso, en coordinación con el resto de asignaturas del cuatrimestre.

Semana	Temas	Actividades de enseñanza aprendizaje	Horas de trabajo presencial	Horas de trabajo autónomo	Total
Semana 1:	Tema 1	Clases teóricas	4.00	4.00	8.00
Semana 2:	Tema 1	Clases teóricas y prácticas	4.00	4.50	8.50
Semana 3:	Tema 2	Clases teóricas y prácticas	4.00	4.50	8.50
Semana 4:	Tema 2	Clases teóricas y prácticas	4.00	4.50	8.50
Semana 5:	Tema 2	Clases teóricas y prácticas	3.00	4.50	7.50
Semana 6:	Tema 3 Primer seguimiento	Clases teóricas y prácticas Prueba de ejecución y desarrollo	5.50	13.50	19.00
Semana 7:	Tema 3	Clases teóricas y prácticas	4.00	4.50	8.50
Semana 8:	Tema 3	Clases teóricas y prácticas	3.00	4.50	7.50
Semana 9:	Tema 4	Clases teóricas y prácticas	4.00	4.50	8.50
Semana 10:	Tema 4	Clases teóricas y prácticas	4.00	4.50	8.50
Semana 11:	Tema 4	Clases teóricas y prácticas	4.00	4.50	8.50
Semana 12:	Tema 4	Clases teóricas y prácticas	4.00	7.00	11.00
Semana 13:	Tema 5	Clases teóricas y prácticas Entrega de tarea	3.00	7.00	10.00
Semana 14:	Tema 5	Clases teóricas y prácticas	4.00	7.00	11.00
Semana 15:	Tema 5 Segundo seguimiento	Clases teóricas y prácticas Prueba de ejecución y desarrollo	5.50	11.00	16.50
Semana 16 a 18:		Posibilidad de recuperar el Primer y/o el Segundo seguimiento	0.00	0.00	0.00
Total			60.00	90.00	150.00