[vc_row][vc_column][vc_tta_accordion shape=»square» c_icon=»chevron» c_position=»right» active_section=»» no_fill=»true» collapsible_all=»true»][vc_tta_section title=»Resumen» tab_id=»resumen»][vc_column_text]
Le projet de recherche proposé s'inscrit dans le domaine de l'analyse harmonique. Ce domaine d'étude est lié à d'autres champs de recherche, tels que les équations aux dérivées partielles, les espaces fonctionnels et la théorie du signal. En Espagne, l'analyse harmonique constitue un axe de recherche majeur, et plusieurs universités abritent des groupes de recherche de renommée internationale dans cette branche. Ces dernières années, des résultats significatifs ont été obtenus sur les commutateurs linéaires et multilinéaires associés aux intégrales fractionnaires et singulières dans différents espaces. Nous proposons d'étudier la bornitude et la compacité des commutateurs pour les transformées de Riesz, les intégrales fractionnaires et les opérateurs de Littlewood-Paley dans les espaces de Lebesgue et de Morrey, dans le cadre de l'opérateur de Bessel. Dans le cadre des espaces de Lebesgue pondérés, nous visons à déterminer l'espace optimal pour le problème de Cauchy associé à l'équation de la chaleur, qui contient des puissances fractionnaires d'opérateurs différentiels sous forme divergente, incluant le laplacien fractionnaire comme cas particulier. L'analyse harmonique dans le contexte des systèmes orthogonaux (Hermite, Jacobi, Laguerre) a été un domaine de recherche actif au cours de la dernière décennie. Nous proposons d'étendre l'étude des transformées de Riesz et des multiplicateurs spectraux associés à ces systèmes aux espaces de formes différentielles. Les potentiels de coquille constituent un outil précieux pour analyser l'existence et l'unicité des solutions de différents problèmes aux limites (Dirichlet, Neumann et régularité) pour les équations aux dérivées partielles. Nous entendons utiliser cette méthode pour analyser la résolubilité de cette classe de problèmes associés à des équations sous forme divergente, à matrices complexes à coefficients variables, et perturbées par un potentiel. Le développement de l'analyse harmonique dans un contexte gaussien requiert des méthodes spécifiques. Nous posons quelques problèmes dans ce cadre. En particulier, nous proposons d'étudier les espaces de Hardy associés aux développements polynomiaux de Laguerre et aux opérateurs de Littlewood-Paley pour les semi-groupes d'Ornstein-Uhlenbeck non symétriques. En reliant les ondelettes à l'analyse harmonique vectorielle, nous visons à caractériser différents espaces de fonctions à valeurs dans Banach (BMO, Hardy) définis sur des espaces homogènes à l'aide de leurs coefficients par rapport aux bases d'ondelettes. En lien avec l'opérateur laplacien p(.), où p est une fonction, le corps des espaces de Lebesgue, Besov et Sobolev à exposant variable a été développé. Nous nous proposons d'étudier les espaces de Hardy et de Hardy-Lorentz à exposant variable associés aux anisotropies, ainsi que dans le contexte des martingales.
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Le projet de recherche proposé s'inscrit dans le domaine de l'analyse harmonique. Ce domaine d'étude est lié à d'autres disciplines, notamment les équations aux dérivées partielles, les espaces fonctionnels et la théorie du signal. En Espagne, l'analyse harmonique emploie de nombreux chercheurs et plusieurs universités possèdent des groupes de travail de renommée internationale dans cette branche de l'analyse. Ces dernières années, d'importants résultats ont été obtenus sur les commutateurs linéaires et multilinéaires associés aux intégrales fractionnaires et singulières dans différents espaces. Nous nous proposons d'étudier la bornitude et la compacité des commutateurs pour les transformées de Riesz, les intégrales fractionnaires et les opérateurs de Littlewood-Paley dans les espaces de Lebesgue et de Morrey, dans le contexte des opérateurs de Bessel. Dans le cadre des espaces de Lebesgue pondérés, nous envisageons de déterminer les espaces optimaux pour le problème de Cauchy associé à l'équation de la chaleur contenant des puissances fractionnaires d'opérateurs différentiels de forme divergente, incluant comme cas particulier le laplacien fractionnaire. L'analyse harmonique dans le contexte des systèmes orthogonaux (Hermite, Jacobi, L'étude des systèmes de Laguerre, …) a fait l'objet de nombreuses recherches au cours de la dernière décennie. Nous souhaitons étendre l'étude des transformées de Riesz et des multiplicateurs spectraux associés à ces systèmes aux espaces de formes différentielles. Les potentiels de couche constituent un outil précieux pour analyser l'existence et l'unicité des solutions de différents problèmes aux limites (Dirichlet, Neumann et régularité) pour les équations aux dérivées partielles. Notre objectif est d'utiliser cette méthode pour analyser la solubilité de cette classe de problèmes associés à des équations aux dérivées partielles sous forme divergente, impliquant des matrices complexes à coefficients variables et perturbées par des potentiels. Le développement de l'analyse harmonique dans un contexte gaussien requiert des méthodes spécifiques. Nous souhaitons étudier certains problèmes dans ce cadre. En particulier, nous proposons d'étudier les espaces de Hardy associés aux développements en polynômes de Laguerre et aux opérateurs de Littlewood-Paley pour les semi-groupes d'Ornstein-Uhlenbeck non symétriques. En reliant les ondelettes à l'analyse harmonique dans un cadre vectoriel, nous cherchons à caractériser différents espaces de fonctions à valeurs dans un espace de Banach (BMO, Hardy, …) définis sur des espaces de type homogène, par rapport à leurs bases de coefficients d'ondelettes. Lié à l'opérateur p(.)-laplacien, où p est une fonction, le corps des espaces à exposant variable (Lebesgue, Besov, Sobolev, …) a été développé. Nous nous proposons d'étudier les espaces à exposant variable de Hardy et de Hardy-Lorentz associés à l'anisotropie, ainsi que dans le contexte des martingales.
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