[vc_row][vc_column][vc_tta_accordion shape=»square» c_icon=»chevron» c_position=»right» active_section=»» no_fill=»true» collapsible_all=»true»][vc_tta_section title=»Resumen» tab_id=»resumen»][vc_column_text]
Dans ce sous-projet, nous proposons trois axes de recherche. Le premier porte sur la convergence et l'implémentation des méthodes SAFERK (Stiffly Accurate First Explicit Runge-Kutta). Cette famille de méthodes à un paramètre offre des méthodes de Runge-Kutta d'ordre équivalent à celui des méthodes RAdau IIA classiques, avec un nombre d'étapes implicites identique, tout en présentant des coefficients d'erreur plus faibles. Le paramètre libre de cette famille peut être choisi pour minimiser les coefficients d'erreur ou maximiser l'amortissement des composantes rigides du problème considéré. Ces méthodes permettent une implémentation adaptative, comme dans les codes RADAU5 et RADAU améliorés, basés sur les méthodes Radau IIA. De fait, cette famille de méthodes s'est avérée compétitive par rapport aux autres méthodes numériques standard pour l'intégration numérique de systèmes rigides et d'équations différentielles algébriques (c'est-à-dire d'équations différentielles avec contraintes algébriques). Nous nous proposons d'étendre l'analyse de convergence aux grands systèmes d'équations différentielles ordinaires et d'équations différentielles algébriques, obtenus respectivement par discrétisation spatiale d'équations aux dérivées partielles et d'équations aux dérivées partielles algébriques, en utilisant la méthode des lignes. Le phénomène de réduction d'ordre associé aux conditions aux limites dépendant du temps est particulièrement intéressant, et un objectif clé de ce premier axe de recherche est de décrire l'influence de ces conditions aux limites (de Dirichlet ou de Neumann) sur les méthodes SAFERK, comparativement aux méthodes de la famille Radau IIA. Le second axe de recherche est consacré à l'intégration temporelle des équations différentielles issues de la discrétisation spatiale d'équations aux dérivées partielles en plusieurs dimensions spatiales, en considérant les méthodes de type ROW et W combinées à la factorisation matricielle approchée. Nous nous intéresserons plus particulièrement à l'obtention de paires de méthodes afin de stabiliser certaines paires de méthodes de Runge-Kutta explicites bien connues et largement utilisées pour l'intégration numérique de problèmes raides ou moyennement raides, telles que les paires Bogachi et Shampine (d'ordres 2 et 3) ou les paires Dormand et Prince (d'ordres 4 et 5). Ces paires ont été utilisées pour la création de codes commerciaux sous Matlab et constituent les intégrateurs de base des codes ode23 et ode45 sous Matlab, respectivement. Cependant, ces codes ne peuvent pas traiter les problèmes raides en raison de leur nature explicite. Par conséquent, notre objectif est d'obtenir des méthodes W efficaces qui étendent les paires de méthodes de Runge-Kutta explicites afin de les rendre adaptées, par stabilisation, à l'intégration temporelle de grands systèmes raides. Nous explorerons des paires de méthodes W efficaces non seulement en étudiant leur stabilité, mais aussi en cherchant à éviter le phénomène de réduction d'ordre dû aux conditions aux limites dépendant du temps. Enfin, dans un troisième axe de recherche, nous explorerons l'utilisation des méthodes W pour l'intégration temporelle d'équations aux dérivées partielles paraboliques à dérivées secondes mixtes. Ces problèmes se rencontrent dans de nombreuses applications, mais nous nous concentrerons sur des modèles pratiques en mathématiques financières (modèles de Heston). [/vc_column_text][/vc_tta_section][vc_tta_section title=»Abstract» tab_id=»abstract»][vc_column_text] Dans ce sous-projet, nous proposons trois axes de recherche. Le premier porte sur la convergence et l'implémentation des méthodes SAFERK (pour « Stiffly Accurate First Explicit Runge-Kutta »). Cette famille de méthodes à un paramètre offre des méthodes de Runge-Kutta d'ordre équivalent à celui des méthodes classiques de Radau IIA pour un même nombre d'étapes implicites, tout en présentant des coefficients d'erreur plus faibles. Le paramètre libre de cette famille peut être choisi afin de minimiser les coefficients d'erreur ou de maximiser l'amortissement des composantes raides du problème différentiel considéré. Ces méthodes permettent une implémentation adaptative analogue à celle des codes de calcul pour systèmes raides perfectionnés RADAU5 et RADAU, basés sur les méthodes de Runge-Kutta-Radau IIA. De fait, cette famille de méthodes s'est avérée compétitive par rapport aux autres méthodes numériques de pointe pour l'intégration numérique des systèmes raides et des équations différentielles algébriques (EDA), c'est-à-dire des équations différentielles munies de contraintes algébriques. Nous nous proposons d'étendre l'analyse de convergence aux grands systèmes d'équations différentielles ordinaires et d'équations différentielles algébriques issus de la discrétisation spatiale d'équations aux dérivées partielles et d'équations aux dérivées partielles-algébriques, respectivement, au moyen de la méthode des lignes. Le phénomène de réduction d'ordre associé aux conditions aux limites dépendant du temps est particulièrement intéressant, et l'un des objectifs principaux de ce premier axe de recherche est de décrire l'influence de ces conditions aux limites (de type Dirichlet ou Neumann) sur les méthodes SAFERK, en comparaison avec les méthodes de la famille Radau IIA. Le second axe de recherche est consacré à l'intégration temporelle des équations différentielles issues de la discrétisation spatiale d'équations aux dérivées partielles en plusieurs dimensions spatiales, en considérant les classes de méthodes ROW et W combinées à la factorisation matricielle approchée. Nous nous intéresserons en particulier à la dérivation de paires de méthodes afin de stabiliser certaines paires de méthodes de Runge-Kutta explicites bien connues et largement utilisées pour l'intégration numérique de problèmes non raides ou faiblement raides, telles que les paires de Bogacki et Shampine (d'ordres 2 et 3) ou de Dormand et Prince (d'ordres 4 et 5). Ces paires ont été utilisées pour la création de codes commerciaux sous Matlab et constituent les intégrateurs de base des codes ode23 et ode45, respectivement. Cependant, ces codes ne peuvent pas traiter les problèmes très raides en raison de leur nature explicite. Par conséquent, nous visons à obtenir des méthodes W efficaces en étendant les paires pertinentes de méthodes de Runge-Kutta explicites afin de les adapter, par stabilisation, à l'intégration temporelle de très grands systèmes raides. L'étude de paires efficaces de méthodes W portera non seulement sur les questions de stabilité, mais aussi sur la prévention du phénomène de réduction d'ordre pour les conditions aux limites dépendant du temps. Enfin, dans un troisième axe de recherche, nous explorerons l'utilisation des méthodes W pour l'intégration temporelle des équations aux dérivées partielles paraboliques en présence de dérivées secondes mixtes. Ces problèmes se rencontrent dans de nombreuses applications, mais nous nous concentrerons sur des modèles pratiques issus des mathématiques financières (modèles de Heston).
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