MTM2016-80659-P. Singularités : discriminants et évaluations. Applications. (SinDisVal)

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Ce projet témoigne de l'évolution des recherches menées au sein de l'équipe, qui partage des objectifs scientifiques, une formation et une méthodologie communs. La qualité et la cohérence constantes de l'équipe sont attestées par les résultats successifs obtenus dans ce domaine, dans le cadre de projets de recherche financés par des appels à projets nationaux et menés à Valladolid, sous la direction d'A. Campillo et F. Delgado. L'objectif global est de réaliser des progrès significatifs dans la résolution de plusieurs problèmes à fort impact scientifique et technique en mathématiques. Ces problèmes sont les suivants : – Approfondir l'étude des valuations, élément clé pour aborder le problème de la singularité des variétés algébriques à caractéristiques positives et source d'information sur la géométrie locale et globale de ces variétés. Étudier la topologie des espaces de valuation, principalement en deux dimensions. – Étudier le lieu discriminant et les points critiques d'une application potentielle, ainsi que leur interaction avec les singularités définies par les composants de l'application.

• Étude du polyèdre de Newton du discriminant dans des situations non génériques et sa relation avec les invariants importants de la singularité des applications.
• Étude des polaires d'ordre supérieur et des diagrammes de Newton jacobiens approximatifs.
• Invariants discrets des courbes planes en caractéristique positive.
• Des codes sur les surfaces.

Parmi les problèmes majeurs mentionnés ci-dessus, voici quelques-uns de nos objectifs spécifiques, auxquels nous espérons contribuer :

• Étudiez le type topologique des valuations centrées sur un point et vérifiez s'il détermine le type d'homotopie des valuations réelles, en dimension arbitraire.
• Généraliser les résultats de Dickenstein et Sessa et Casas-Alvero sur les polaires d'ordre supérieur pour les courbes k-régulières réduites et pour les singularités quasi-ordinaires.
• Généraliser les résultats déjà obtenus par le groupe sur les polygones de Newton jacobiens approchés à (1) une courbe réduite, (2) une singularité quasi ordinaire, (3) un feuilletage (problème de thèse de NE Saravia Molina) et (4) des courbes en caractéristique positive.
• Étude du nombre de Milnor et de l'exposant de Lojasiewicz en caractéristique positive.
• Codes de construction sur les surfaces.

Les publications de l'équipe (dont plusieurs dans des revues prestigieuses), les travaux individuels, les contacts avec des experts nationaux et internationaux (facilités, dans certains cas, par l'obtention de ce projet), ainsi qu'un plan de diffusion des travaux et des résultats bien structuré, nous permettront, nous l'espérons, d'atteindre un haut degré de nos objectifs. Felipe, García et Teissier travailleront sur les valuations. García et Teissier travailleront sur les discriminants de morphismes. García et Gwozdziewicz travailleront sur les polaires supérieures et les jacobiennes approximatives, et la doctorante N.E. Saravia Molina travaillera sur les feuilletages. Felipe et García travailleront sur les invariants discrets (en collaboration avec A. Ploski). Márquez et García travailleront sur les codes de surface.
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Ce projet s'inscrit dans la continuité des recherches menées par l'équipe, dont les membres partagent des objectifs scientifiques, une formation et une méthodologie communs. La qualité et la constance de l'équipe sont attestées par les résultats de recherches successives obtenus dans le cadre de projets nationaux coordonnés par A. Campillo et F. Delgado. L'objectif global est de réaliser des avancées significatives dans la résolution de problèmes à fort impact scientifique et technologique en mathématiques. Ces problèmes sont :

• Poursuivre l'étude des valuations en tant qu'objet clé pour la résolution du problème des singularités des variétés algébriques en caractéristique positive, et en tant que source d'information sur la géométrie locale et globale de ces variétés. Étudier la topologie des espaces de valuations, principalement en dimension deux.
• Étude du lieu discriminant et des points critiques pour une application germinale et son interaction avec les singularités définies par les composantes de la carte.
• Étude du polyèdre de Newton du discriminant dans des situations non génériques et de sa relation avec les invariants importants de la singularité des applications.
• Étude des polaires d'ordre supérieur et des diagrammes de Newton jacobiens approchés. – Invariants discrets des courbes planes en caractéristique positive.
• Des codes sur les surfaces.

Parmi les grands problèmes évoqués ci-dessus, voici quelques-uns de nos objectifs spécifiques, auxquels nous espérons contribuer :

• Étudiez le type topologique des valuations centrées sur un point et vérifiez s'il détermine le type d'homotopie des valuations réelles, dans n'importe quelle dimension.
• Généraliser les résultats de Dickenstein et Sessa et Casas-Alvero sur les polaires d'ordre supérieur aux courbes réduites k-régulières et aux singularités quasi-ordinaires.
• Pour généraliser les résultats déjà obtenus par le groupe sur les polygones de Newton jacobiens approximatifs à (1) une courbe réduite, (2) une singularité quasi-ordinaire, (3) un feuilletage (problème de thèse de Saravia Molina) et (4) des courbes en caractéristique positive.
• Étude du nombre de Milnor et de l'exposant de Lojasiewicz en caractéristique positive.
• Construction de codes sur les surfaces.

Les publications de l'équipe (dont plusieurs dans des revues prestigieuses), nos travaux personnels, les échanges avec des experts nationaux et internationaux (facilités, si possible, par le financement de ce projet), ainsi qu'un plan de travail rigoureux et la diffusion des résultats permettront d'atteindre pleinement nos objectifs. De Felipe, García et Teissier travailleront sur les évaluations, et García et Teissier sur les discriminants de cartes. García et Gwozdziewicz travailleront sur les polaires d'ordre supérieur et les polygones de Newton jacobiens approchés, et Saravia Molina sur leurs aspects de feuilletage. Enfin, de Felipe et García (en collaboration avec A. Ploski) travailleront sur les invariants discrets. García et Márquez travailleront sur les codes de surface.

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Chercheur à l'Université de La Laguna

• Evelia Rosa García Barroso