Universidad de La Laguna
Cuando uno piensa en la Biología y sus disciplinas, normalmente no incluimos a las Matemáticas entre ellas; no obstante, estas pueden ser una herramienta muy útil para llegar a predecir y conocer el comportamiento de los sistemas vivos, desde ecosistemas y organismos, hasta las células de nuestro cuerpo.
Un ejemplo de esto último, relevante desde el punto de vista biomédico, es como, por medio de modelos matemáticos, se ha podido predecir cómo las células pueden evolucionar y progresar hacia la formación de un tumor. ¿Qué es lo que diferencia a los distintos tipos celulares y qué determina su evolución? Veamos el caso del cáncer de mama, un tipo de cáncer muy conocido y peligroso. En los senos, hay células que pueden ser susceptibles de convertirse en células cancerosas. Estas células se dividen más de lo normal y acaban creando estos fatídicos tumores. Las células normales han adquirido, en parte de sus genes, una variante que les impide que evolucionen hacia la formación de tumores; sin embargo, en ocasiones, algunas pierden esta capacidad. Los genes se presentan en parejas (llamados alelos) de tal forma que si se pierde uno de los sanos (o ambos) existe la posibilidad de que las células se transformen en cancerosas. Esto mismo ocurre en otros tipos de cáncer.
Con respecto a los modelos matemáticos nombrados anteriormente, podemos preguntarnos qué son, cómo se construyen y cómo se pueden usar para combatir el cáncer. Un modelo matemático es una forma de representar matemáticamente un sistema, biológico en este caso, de forma simplificada como medio para su estudio.
En nuestro caso, el modelo que hemos usado se enmarca en la denominada Teoría de Juegos, una rama de las matemáticas en la que se valoran las decisiones de cada individuo conjuntamente, así como el resto de los agentes que intervienen en un proceso. Para ello, asignaremos el color azul a las células con las dos variantes «buenas» de sus genes que evitan la formación de tumores; el verde a las que solo tienen una variante y el rojo a las células tumorales sin ninguna variante. Por estudios de laboratorio, sabemos cómo se relacionan los tres tipos de células entre sí. Esta información es la que representamos de forma matemática en forma de una Matriz de Pagos (Figura 1).
En la Figura 1, se muestra la representación de las interacciones entre los distintos tipos de células. A partir de esta, podemos interpretar que las células azules «pierden» (ej. una disminución de la población) cuando interaccionan con las células verdes y rojas; las verdes obtienen un «beneficio» (ej. aumento de su población) cuando interaccionan con las azules, pierden contra las rojas y siempre sufren la presión del sistema inmune (las defensas del cuerpo que las reconocen como algo extraño) que se representan por las células de color gris. Tanto las células verdes como las rojas, sufren este ataque. Por último, las células rojas obtienen un beneficio al interaccionar con los otros dos tipos, pero reciben un daño mayor por parte del sistema inmune. Los beneficios y las pérdidas están representados como pequeños cuadrados de colores. La integración en el modelo del conjunto de estas interacciones, nos ayudará a predecir el comportamiento de las células del tumor.
Figura 1. Matriz de Pagos de los tres tipos de células. Las células azules son las que tienen ambas variantes, las verdes son las que tienen una variante y las rojas, ninguna de estas. Las células grises representan el sistema inmune.
Esta representación es aún insuficiente, ya que las células de la mama no se mueven libremente como si estuvieran en una sopa celular; sino que están organizadas en estructuras tridimensionales. Para reflejar este hecho en el modelo, nos basamos en imágenes de tumores reales que son analizadas por programas informáticos. El resultado nos permite construir una matriz como la que vimos anteriormente, pero que, esta vez, nos muestra los vecinos que tiene cada una de las células.
Hasta aquí, hemos traducido al lenguaje matemático la información sobre cómo interaccionan las células y quiénes son sus vecinas. El siguiente paso es combinar estos datos con el objetivo de predecir la evolución del tumor. Para esto, añadimos a esta información los datos sobre la proporción de células de cada tipo y lo plasmamos en forma de ecuaciones. La composición de la población de células en un determinado momento la representamos mediante un punto dentro de una gráfica en forma de triángulo llamado Símplex. Esto nos permite determinar cómo será la evolución del tumor con respecto al tiempo.
Figura 2. Símplex que representa la evolución de los tres tipos de células.
En la Figura 2, podemos apreciar este Símplex que nos muestra la evolución de la población celular en el tumor a partir de una posición inicial. Este punto inicial se corresponde con el punto central que representa una determinada proporción de cada uno de los tres tipos de células. A medida que se avanza en el tiempo, las proporciones de cada una de las células evoluciona hacia las células azules (las células con las dos variantes buenas del gen), con lo que, en este caso, el tumor desaparece y todas las células son, finalmente, sanas. En este caso, tenemos un final feliz, pero puede ocurrir que el tumor evolucione hacia una zona en la que predominen las células tumorales o las células que solo tienen una variante. En ese caso, el modelo nos facilitaría la búsqueda de fármacos que pudieran alterar las interacciones entre las células representadas en la Matriz de Pagos, hasta conseguir una evolución favorable.
Figura 3. Ejemplo de las posibles evoluciones de un tumor. Se puede comprobar que el sistema evoluciona hacia un estado saludable (zona de color azul).
Gracias a la Teoría de Juegos, combinada con la información experimental disponible, los resultados del análisis de imágenes y la representación de todo el conjunto en el Símplex, podemos predecir la evolución de las células en un tumor y así poder tratarlos eficazmente. Estos mismos planteamientos se pueden aplicar a otro tipo de problemas como, por ejemplo, la supervivencia de una especie en peligro de extinción.