Seminario de Análisis Matemático y Matemática Aplicada 2021-2022

Operadores de Toeplitz en espacios pesados de funciones analíticas

Imparte: Prof. Dr. José Bonet Solves (Universitat Politècnica de València)

Abstract: We present several results about continuity and compactness of Toeplitz operators defined on weighted Banach spaces of analytic functions with sup-norms. In particular, we study the case of exponential weights on the unit disc of the complex plane.

Joint work with Wolfgang Lusky and Jari Taskinen.

Resumen: En la charla presentaremos resultados sobre continuidad y compacidad de operadores de Toeplitz definidos en espacios de Banach pesados de funciones analíticas con la norma de supremo. En particular, estudiamos el caso de espacios con pesos exponencial in el disco unidad del plano complejo.  

Nos basamos en un trabajo conjunto con Wolfgang Lusky y Jari Taskinen.

Sobre el Problema del Subespacio Invariante

Imparte:  Prof. Dra. Eva Gallardo-Gutiérrez (Universidad Complutense de Madrid))

Abstract: Despite its simplicity, apparently one of the most difficult questions in the theory of invariant subspaces in separable, infinite dimensional complex Hilbert spaces is the problem of the existence of non-trivial closed invariant subspaces for a compact perturbation of a self-adjoint operator. The situation is still even hopeless if one considers compact perturbations of a bit broader class of operators, namely normal operators.

In this talk we will address this latter question and show recent improvements regarding it. (Based on joint works with Javier González-Doña).

Resumen: A pesar de su simplicidad, aparentemente una de las preguntas más difíciles en el estudio de la existencia de subespacios cerrados e invariantes no triviales de operadores actuando en espacios de Hilbert complejos de infinito dimensionales separables concierne a las perturbaciones compactas operadores autoadjuntos. La situación es aún más complicada si se consideran perturbaciones compactas de una clase un poco más amplia de operadores, a saber, los operadores normales. En esta charla abordaremos esta última pregunta y mostraremos resultados recientes al respecto. (Basado en trabajos conjuntos con Javier González-Doña).

Imparte: Dra. María Ángeles García-Ferrero  (BCAM – Basque Center for Applied Mathematics)

Abstract: The classical Calderón problem is the inverse problem which the electrical impedance tomography is based on. Some crucial questions about this kind of problems can be studied by exploiting Runge-type approximation results for the corresponding operators. These are based on unique continuation or antilocal properties, which can be seen as a way of propagating partial data of a function to larger domains under the validity of some equation.

In this talk we will illustrate these ideas with the study of stability improvements for a Calderón problem for the acoustic Helmholtz equation with partial data.
We will also introduce the nonlocal counterpart of the Calderón problem. We will in particular discuss the phenomena which arise under directional antilocality.

Resumen: El problema clásico de Calderón es el problema inverso en el que se basa la tomografía de impedancia eléctrica. Algunas cuestiones claves sobre este tipo de problemas pueden abordarse con resultados de aproximación de tipo Runge para los operadores correspondientes. Estos resultados se basan en propiedades de continuación única o  de antilocalidad, que permiten propagar información parcial sobre una función a dominios más grandes si se verifica cierta ecuación.

En esta charla se ilustrarán estas ideas con el estudio de la mejora en la estabilidad para el problema de Calderón asociado a la ecuación de Helmholtz acústica con datos parciales. También se presentará el análogo no local al problema de Calderón y se discutirá qué sucede si se tiene antilocalidad direccional.

Imparte: Dr. Giovanni Pagano (University of Salerno, Italia)

Abstract: In this talk, we show techniques that allow the construction of efficient numerical methods for solving ordinary or partial differential equations by requiring the preservation of some stability properties in accordance with the a-priori known characteristics of the solution of the reference model (e.g. positivity, equilibrium points, oscillation frequency, etc.).

Resumen: En esta charla, presentamos técnicas que permiten la construcción de métodos numéricos eficientes para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales al exigir la conservación de algunas propiedades de estabilidad de acuerdo con las características conocidas a priori de la solución del modelo de referencia (por ejemplo, positividad, puntos de equilibrio, frecuencia de oscilación, etc.).

Operadores integración del espacio de Bergman al espacio de Hardy en la bola unidad

Set of periods for the wild linear dynamics

Imparte: Dr. Antti Përalä (Umea University, Suecia)

Abstract: We completely characterize the boundedness of the Volterra type integration operators acting from the weighted Bergman space to the Hardy space of the unit ball. A partial solution to this problem in one-dimensional setting was previously obtained by Zhijian Wu. We solve the missing cases and extend the results to all dimensions. Our tools involve area methods from harmonic analysis, Carleson measures and Kahane-Khinchine type inequalities, as well as techniques and integral estimates related to Hardy and Bergman spaces.

Resumen: Se muestra la caracterización de la acotación de operadores de tipo Volterra entre espacios de Bergman con peso y espacios de Hardy de la bola unidad, completando el resultado parcial de Zhijian Wu (en una dimensión) y extendiéndolo a los casos de dimensiones mayores. Las técnicas utilizadas involucran métodos de área de análisis armónico, medidas de Carleson y desigualdades de tipo Kahane-Khinchine junto con técnicas y estimaciones integrales relacionadas con los espacios de funciones mencionados.  

Conjuntos de períodos en dinámica lineal caótica

Set of periods for the wild linear dynamics

Imparte: Prof. Dr.  Alfred Peris (Universitat Politècnica de València)

Abstract: Since Sharkovsky’s characterization in 1964 of possible periods for a continuous map on an interval, the study of periods that certain dynamical systems allow, depending on the structure of the phase space or the map, has attracted a lot of attention. We will present a complete characterization of all possible periods that a Devaney chaotic operator on the Hilbert space can present. This is a joint work with J.A. Conejero, F. Martínez-Giménez and F. Rodenas.

Resumen: Desde la caracterización de Sharkovsky en 1964 de los posibles periodos para una aplicación continua en el intervalo, el estudio de los periodos que permiten los sistemas dinámicos, en función de la estructura del espacio fase o la aplicación, ha experimentado un gran desarrollo. Presentaremos una caracterización completa del conjunto de posibles periodos para un operador caótico en sentido Devaney en el espacio de Hilbert. Es un trabajo conjunto con J.A. Conejero, F. Martínez-Giménez y F. Rodenas

Métodos de splitting sobre EDPs parabólicas multidimensionales:  condiciones de frontera

Imparte: Dra. Soledad Pérez Rodríguez

“Las condiciones de frontera casi siempre conducen a complicaciones de un tipo u otro, incluso en el caso relativamente sencillo de una dimensión espacial” [Hundsdorfer and Verwer, 2003]. 

En esta charla nos centraremos en algunos métodos de splitting de tipo ADI para la solución temporal de EDPs parabólicas multidimensionales, cuando se aplican diferencias finitas para su discretización espacial. Estos métodos, debido a su coste computacional relativamente bajo, pueden ser adecuados para integrar problemas de alta dimensión, como los procedentes de la valoración de opciones en Finanzas, donde es usual considerar cinco o seis tipos de interés diferentes como variables «espaciales». Sin embargo, sufren reducción de orden cuando se imponen condiciones de contorno dependientes del tiempo, por lo que es necesario buscar nuevas técnicas para evitarla.

Splitting methods on multi-dimensional parabolic PDEs:  boundary conditions

«Boundary conditions nearly always lead to complications of one sort or another, even in the relatively simple case of one spatial dimension» [Hundsdorfer and Verwer, 2003].

In this talk we will focus on some splitting methods of ADI-type for the time solution of multi-dimensional parabolic PDEs, when finite differences are applied for their spatial discretization. These methods, due to their relatively low computational cost, can be  suitable to integrate high-dimensional problems, as the ones coming from option pricing in Finance, where five or six different interest rates are usually considered as “spatial” variables. However, they suffer from order reduction when time-dependent boundary conditions are imposed and the search for new techniques to avoid this is necessary.

Aprendiendo Operadores Resolventes

Imparte: Jonathan Chirinos (Universidad de Génova)

En los últimos años, las técnicas de Machine Learning han sido responsables de numerosos avances en varias ramas de la Matemática Aplicada, como la optimización convexa/no convexa, problemas inversos, ecuaciones en derivadas parciales o transporte óptimo. En esta charla, hablaremos sobre una clase de operadores muy importantes en optimización continua, los operadores resolventes. Explicaremos por qué son importantes, qué se quiere decir con r con «aprender», y por qué será importante introducir tal concepto. Para ello, mostraremos el problema que intentamos resolver, especificando los espacios en los que debemos trabajar, su estructura y, cual será el enfoque que tomaremos.

Learning Resolvent Operators

In the past years, Machine Learning techniques have became a breakthrough in various fields of Applied Mathematics, such as Convex/Non-convex optimization, Inverse Problems, PDEs or Optimal Transport. During this seminar, I will talk about resolvent operators, a very important class of functions in the Optimization community. I will try to explain why they are important, what do I mean with «learning» and why it could be useful to introduce such technique. To do so, I will state the problem that we want to solve, specify which are the right spaces that we have to work on, their structure and, finally, the approach that we are going to follow.

Imparte: Dr. Sigurdur Freyr Hafstein (University of Iceland)

Las funciones de Lyapunov generalizan el concepto de energía de los sistemas dinámicos en Física. Cada función de Lyapunov de un sistema diferencial permite inferir propiedades de las cuencas de atracción. Asimismo, ciertas medidas de contracción se usan para analizar el comportamiento a largo plazo de trayectorias inicialmente vecinas. En esta charla se discuten varios métodos para medir la distancia entre trayectorias, los cuales se basan en la computación de soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales.

Lyapunov functions generalize the physical concept of energy to arbitrary dynamical systems. From a Lyapunov function for a given system various properties about the systems attractors and basins of attraction can be concluded. Likewise, contraction metrics decode the long term behavior of dynamical systems by measuring the distance between trajectories in an appropriate metric. We will discuss some numerical methods for their computation and how the fact, that they are essentially solutions to certain partial differential inequalities can be used.

Imparte: Dr. Diego Alonso Orán (Universidad de La Laguna)

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física

La magneto-hidrostática es relevante en una amplia variedad de problemas en astrofísica de plasmas para describir estructuras de la corona solar y vientos estelares, así como en el estudio de la fusión por confinamiento. En esta charla, daremos una breve introducción a estos problemas y discutiremos la solubilidad de un problema de frontera para las ecuaciones magneto-hidrostáticas propuesto originalmente por Grad y Rubin a finales de los años 50. La idea de la prueba se basa en un argumento de punto fijo que combina el llamado método de transporte junto con estimaciones de Hölder para una clase de operadores integrales singulares de no-convolución. Si el tiempo lo permite, también mencionaremos algunos problemas abiertos relacionados.

Magneto-hydrostatics is relevant in a wide variety of problems in astrophysical plasmas describing coronal field structures and stellar winds as well as in the study of plasma confinement fusion. In this talk, we will give a brief introduction to those problems and discuss the solvability of a boundary value problem for the magneto-hydrostatic equations originally proposed by Grad and Rubin in the late 50’s. The idea towards the proof relies on a fixed point argument which combines the so-called transport method together with Hölder estimates for a class of non-convolution singular integral operators. Time permitting, we will also mention some related open problems.

Imparte: José Ángel Peláez Márquez (Universidad de Málaga)

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física

Sea g una función analítica en el disco unidad del plano complejo, y consideremos los paraproductos analíticos inducidos por g. La acotación de estos operadores en diversos espacios de funciones analíticas en es bien conocida, sin embargo poco se conoce sobre los símbolos g tales que la composición de dos de estos operadores, es acotada sobre estos espacios. Esta cuestión es la motivación original para nuestro trabajo, sin embargo nuestros métodos van más allá y permiten describir la acotación, sobre espacios clásicos de Bergman y de Hardy, de una amplia clase de operadores contenida en el álbegra generada por los paraproductos analíticos.

TFor a fixed analytic function g on the unit disc of the complex plane, we consider the analytic paraproducts induced by g.

The boundedness of these operators on various spaces of analytic functions is well understood. The original motivation for this work is to understand the boundedness of compositions of two of these operators. However, our methods go beyond and yield a characterization of the boundedness of a large class of operators contained in the algebra generated by these analytic paraproducts acting on the classical weighted Bergman and Hardy spaces in terms of the symbol.

Imparte: Prof. Dra. Teresa de Jesús Bermúdez de León (Universidad de La Laguna)

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Presencial: Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física

La definición de isometría ha sido generalizada de diferentes formas. Una de las generalizaciones ha sido la de m-isometría que hace uso del cálculo funcional hereditario con un operador acotado y su operador adjunto, donde m es un entero positivo.

En esta charla daremos un breve resumen de cómo ha ido el progreso del estudio reciente de dicha clase de operadores.

Además, presentaremos algunos resultados sobre la existencia de extensiones m-isométricas invertibles de una m-isometría. Finalizaremos con algunas aplicaciones que nos permiten obtener la expresión del espectro local de dicha clase de operadores. Algunos de estos resultados son parte de un trabajo conjunto con Antonio Martinón, Vladimir Müller y Hajer Zaway.

The definition of isometry has been generalized in many different ways. One of them is called m-isometry, which is established in terms of some algebraic conditions by using the hereditarily functional calculus with a bounded linear operator and its adjoint, where m is a positive integer.

In this talk we will give a brief overview of some recent progress of the study of m-isometries.

We will also talk about invertible m-isometrical extension of an m-isometry. Finally we will present some applications to obtain precise information of the local spectrum of an m-isometry. Some of these results are part of a joint work with Antonio Martinón, Vladimir Müller and Hajer Zaway.

Imparte: Dr. Alejandro J. Castro Castilla (Nazarbayev University)

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La existencia, unicidad y estabilidad de soluciones de muchas ecuaciones en derivadas parciales no lineales dispersivas con dato inicial en espacios de Sobolev ha sido intensamente estudiada. Sin embargo, las funciones de Sobolev no decaen necesariamente en el infinito, lo cual no es una propiedad muy realista en algunas aplicaciones. En esta charla presentamos varios resultados en espacios de Sobolev con pesos, para la ecuación no lineal de Schrödinger con derivadas y para la ecuación no lineal de Schrödinger-Airy.

The well posedness (existence, uniqueness and stability) of the solutions for several nonlinear dispersive PDEs with initial data in Sobolev spaces has been intensively analyzed. However, Sobolev functions do not necessarily decay fast at infinity, which is in many applications an unrealistic assumption. In this talk we discuss examples of existence and uniqueness results in weighted Sobolev spaces, for the derivative nonlinear Schrödinger equation and the nonlinear Schrödinger-Airy equation.

Imparte: Dra. Valia Guerra Ones (Universidad de La Laguna)

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física.

El procesamiento de imágenes y videos es un retador campo de investigación donde las técnicas matemáticas juegan en un rol primordial. En la charla se discuten los aspectos teóricos y formulaciones algorítmicas de la modelación sparse y su aplicación en un problema práctico: super-resolución de imágenes. Se discute un nuevo enfoque para el aumento de la resolución de imágenes usando los modelos sparse y se muestran evaluaciones experimentales de la técnica propuesta. Finalmente, se discuten brevemente los métodos de modelación sparse convolucionales.

Image and video processing is a challenging area where mathematical techniques play a primary role. In this work, we discuss theoretical aspects and mathematical formulations of Sparse Coding and its application in a practical problem: Image super-resolution (SR) or Image scale-up problem. A novel approach for solving the SR problem using Sparse Coding in the multi-frame case is discussed. Experimental evaluations are shown. Finally, we discuss some aspects about Convolutional Sparse Coding.

Imparte: Prof. Dr. Juan Carlos Santos León (Universidad de La Laguna).

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física.

La factorización espectral de polinomios de Laurent es un problema clásico en Matemáticas e Ingeniería. Existen varios métodos para calcular la solución. En esta charla presentamos resultados relacionados con la resolución de este problema mediante una novedosa técnica basada en expresar la solución (espectro) en forma baricéntrica en lugar de la forma canónica habitual.

Los resultados presentados se han obtenido en colaboración con Adhemar Bultheel.

The spectral factorization of Laurent polynomials is a classic problem in Mathematics and Engineering. There are several methods to compute the solution. In this talk we present results related to solving this problem using a novelty technique based on expressing the solution (spectrum) in a barycentric interpolation form instead of the usual canonical form.

The presented results have been obtained in collaboration with Adhemar Bultheel.

Imparte: Prof. Dr. Xavier Ros-Oton (ICREA y Universidad de Barcelona).

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física.

El problema de Stefan es el problema de frontera libre más clásico y conocido. La regularidad de las fronteras libres en este problema fue desarrollada por Caffarelli en su famoso artículo (Acta Math. 1977), donde demostró que la frontera libre es regular en espacio y tiempo, fuera de un cierto conjunto de puntos singulares. Una pregunta abierta de importancia central en este contexto es entender mejor la estructura y tamaño del conjunto singular. En esta charla presentaremos algunos nuevos resultados en esta dirección, establecidos recientemente con A. Figalli y J. Serra.

The Stefan problem is probably the most classical and well-known free boundary problem. The regularity of free boundaries in such problem was developed in the groundbreaking paper (Caffarelli, Acta Math. 1977). The main result therein establishes that the free boundary is regular in space and time, outside a certain set of singular points. A major question in this context is to establish estimates for the size and structure of the singular set. The goal of this talk is to present some new results in this direction. This is a joint work with A. Figalli and J. Serra.

Imparte: Prof. Dr. Ernst Hairer (Universidad de Ginebra, Suiza)

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física.

Se considera el tratamiento numérico de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de partículas en un campo magnético de gran intensidad. El problema es altamente oscilatorio y se estudia la exactitud proporcionada por el algoritmo de Boris y variaciones del mismo en integraciones a largo plazo. El análisis de convergencia se basa en desarrollos de tipo Fourier.

This talk considers the numerical treatment of differential equations that describe the motion of electric particles in a strong magnetic field, which are highly oscillatory. The Boris algorithm and some modifications of it are discussed. Their accuracy and long-time behaviour are analyzed via modulated Fourier expansions.

Imparte: Prof. Dr. Joaquín F. Sánchez Lara (Universidad de Granada)

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El objeto de estudio son las relaciones existentes entre tres temas clásicos del análisis matemático. Por un lado tendremos los problemas de equilibrio electrostático consistentes en una distribución de cargas unitarias en la recta real o en el plano complejo y bajo un campo externo, de manera que, aún teniendo libertad para moverse, permanecen en equilibrio. El segundo objeto son las ecuaciones diferenciales de cierto tipo que tienen soluciones polinómicas y el tercero son las relaciones de ortogonalidad que puede satisfacer un polinomio.

We will study the relations between three well-known topics of mathematical analysis. One of them is the electrostatic equilibrium given by a distribution of unitary charges placed on the real line or the complex plane in such a way that they remain in equilibrium even if the charges could move freely. The second topic is the differential equations of certain type which have polynomial solution. The last one deals with the orthogonality relations that a polynomial can satisfy.

Imparte: Dr. Pablo Quijano (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, UNL-CONICET, Argentina)

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física.

Consideramos un operador de Schrödinger L en el espacio euclídeo d-dimensional con dimensión mayor a 2. Asumimos además que el potencial asociado a L satisface una condición de Hölder inversa. En esta charla comentaremos algunos resultados de acotación en espacios de Lebesgue y de regularidad para operadores del análisis armónico (como maximales, transformadas de Riesz y funciones de Littlewood Paley) asociados a L.

We consider a Schrödinger operator L in the d-dimensional euclidean space with d greater than 2. We assume further that the potential associated to L satisfies a reverse-Hölder condition. In this talk we will sum up some boundedness results over Lebesgue and regularity spaces for harmonic analysis operators (such as maximals, Riesz transforms and Littlewood Paley functions) related to L.

Imparte: Elena de la Rosa (Universidad de Málaga)

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Presencial en el Aula 22 de Facultades de Matemáticas y Física.

Generalizamos el operador de Hilbert definiendo un nuevo operador integral inducido por un peso radial en el disco unidad. Estudiamos la acotación del operador de tipo Hilbert en espacios de Hardy y espacios de Bergman.

We generalize the Hilbert operator by considering an integral operator induced by a radial weight in the unit disc. We study the boundedness of the Hilbert-type operator on Hardy and Bergman spaces.

Imparte: Prof. Dr. Julio D. Rossi (Universidad de Buenos Aires)

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En esta charla mostraremos una propiedad del valor medio en sentido asintótico que caracteriza soluciones viscosas de la clásica ecuación de Monge-Ampere.

Our goal in this talk is to show that an asymptotic nonlinear mean value formula characterizes viscosity solutions for the classical Monge-Ampere equation.

Imparte: Dr. Odí Soler i Gibert (Universität Würzburg, Germany)

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Empezaremos repasando algunos aspectos del espacio BMO clásico. En concreto, nos centraremos en conmutadores de la forma [H,b], donde b denota la multiplicación por la función b de BMO y H es la transformada de Hilbert, y en la equivalencia entre la norma de [H,b] (como operador de L2) y la norma de b en BMO. A continuación, trataremos resultados similares en distintas generalizaciones de BMO: espacios con pesos y espacios multiparámetro. Por último, presentaremos un espacio diádico multiparámetro con pesos y un resultado análogo para normas de biconmutadores. Esta charla está basada en un trabajo conjunto con Spyridon Kakaroumpas.

We will review some properties of the classical BMO space. In particular, we will focus on commutators of the form [H,b], where b stands for multiplication by function b in BMO and H is the Hilbert transform, and the equivalence between the norm of [H,b] (as an operator in L2) and the BMO norm of b. Then, we will discuss similar results in various generalisations of BMO: weighted spaces and multiparameter spaces. Lastly, we will present a dyadic multiparameter weighted space and an analogous result for bicommutator norms. This talk is based on joint work with Spyridon Kakaroumpas.

Imparte: Prof. Dr. Antonio Martinón Cejas (Universidad de La Laguna)

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Los operadores disjuntamente no-singulares han sido introducidos recientemente. Son operadores definidos en un retículo de Banach y que toman valores en un espacio de Banach, que tienen la propiedad de que sobre subespacios generados por sucesionoes disjuntas se comportan casi como isomorfismos. Se presentan otros conceptos relacionados y se establecen sus principales propiedades. Los mejores resultados se obtienen en el caso de que el retículo de Banach esté formado por funciones medibles.

The disjointly non-singular operators have been introduced recently. They are operators defined on a Banach lattice and taking values in a Banach space, which have the property that on subspaces generated by disjoint sequences they behave almost as isomorphisms. Other related concepts are presented and their main properties are established. The best results are obtained in the case where the Banach lattice consists of measurable functions.